Mathe ist doof

− 1)² = x² − 2x + 1
    4.       Ersetzen von x² durch x (siehe 2.):
(x − 1)² = x − 2x + 1
    5.       (x − 1)² = −x + 1
oder auch (x − 1)² = − (x − 1)
    6.       Division auf beiden Seiten durch (x − 1) führt zu
(x − 1) = − 1
    7.       Addition von 2 auf beiden Seiten führt zu
x + 1 = 1
    8.       Da x = 1 gilt dann:
2 = 1 oder auch 1 = 2
 
    Im 6. Schritt hat man durch Null dividiert (Da x = 1 ist x − 1 = 0). Mit Hilfe der Division durch Null kann man fast alles „beweisen“; ein gutes Argument dafür, diese Operation in der Mathematik nicht zuzula ssen.
    Es gibt weitere Operationen, die zwar definiert sind, aber eine Glei chung so verändern, dass die „neue“ Gleichung nicht mehr äquiva lent zu der ursprünglichen ist.
    4  =  4          2²  =  (−2)²         2  =  −2
    Zum Schluss noch eine wichtige „Gleich ung“ in der Mathematik:
    Nur nicht = aufgeben!

20.        Ganz genau, ungefähr
     
    Wie exakt ist die Mathematik?
    Was für eine Frage!
    Mathematik ist die einzige wirklich exakte Wissenschaft. Nirgendwo sonst lässt sich etwas endgültig „beweisen“. In allen anderen Wis senschaften gibt es immer nur Modelle und Theorien, die so lange als gültig akzeptiert werden, bis man sie widerlegen kann. Auch wenn viele Theorien nicht grundsätzlich widerlegt, sondern nur relativiert oder verfeinert werden, so gibt es dennoch keine, von der man ganz sicher sein kann, dass sie nicht eines Tag es doch widerlegt werden könnte . Nicht so in der Mathematik. Was hier bewiesen wurde, gilt als nicht widerlegbar. Kein ernsthafter Mathematiker käme etwa auf die Idee, zu versuchen, einen Kreis nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat zu überführen: Dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist, haben bereits die Grie chen geahnt, der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann konnte dies 1882 beweisen.
    Ein wichtiger Baus tein dieses Beweises war die Erkenntnis, dass das Verhältnis zwischen Durchmesser und Radius eines Kreises – gut bekannt als π – eine Zahl ist, die nicht durch eine Gleichung mit aus schließlich rationalen Zahlen beschrieben werden kann. Trotzdem kann man die Zahl π heute auf hunderttausende von Stellen genau angeben, wenn auch für den Alltag meistens der Wert 3,14 völlig ausreichend ist. Die weitere Berechnung von Nachkommastellen für π erfolgt nun nicht dadurch, dass etwa Kreise immer genauer gemes sen we rden, sondern durch rein mathematische Annäherung.
    Wenn wir im Alltag in der Arithmetik mit Zahlenwerten operieren, die wir durch Messungen erhalten haben, so können wir mit diesen Werten zwar ganz „exakt“ rechnen – erhalten aber stets alles andere als „exakte“ Werte!
    Nehmen wir eine quaderförmige Schachtel, die 12,3 cm lang,
45,6 cm breit und 78,9 cm hoch ist. Wie groß ist ihr Volumen?
    Wahrscheinlich würden Sie, um die Frage zu beantworten, diese Werte in einen Taschenrechner tippen und multiplizieren.
Im Display erscheint dann 44253,432. Wie groß ist dann das Volu men?
Genau 44253,432 cm³? Von wegen!
    Zunächst sollte man sich klarmachen, was die Angaben „quaderför mig“ und „12,3 cm lang“ denn tatsächlich bedeuten. Ein Quader ist eine mathematische Idealvorstellung, die in der Realität nie wirklich exakt anzutreffen ist. Und wenn Messwerte angegeben werden, so wird damit immer auch etwas über die Genauigkeit angegeben, mit der diese Werte bestimmt wurden. 12,3 cm bedeutet dabei, dass der „wirkliche“ Wert wohl irgendwo zwischen 12,25 cm und 12,35 cm liegen wird. Wie genau kann wirklich gemessen werden?
    Gehen wir bei unserer Schachtel einmal von der (unrealistischen) Annahme aus, dass sie einem exakten Quader sehr nahe kommt und dass wir seine Kanten mit einer Genauigkeit von einem hundertstel Millimeter (0,001 cm) messen könnten. 12,3 cm hieße dann „zwi schen 12,2995 cm und 12,3005 cm“, 45,6 cm „zwischen 45,5995 cm und 45,6005 cm“ und 78,9 cm „zwischen 78,8995 cm und 78,9005 cm“.
    Nun können wir die Bandbreite berechnen, in der sich das Volumen der Schachtel befindet, indem man zuerst die möglichen kleinsten Werte miteinander multipliziert und dann die möglichen größten. In unserem Beispiel erhalten wir:
    44250,867439199875 cm³ und 44255,996629200125 cm³. Trotz dieser enormen Genauigkeit ergibt sich eine Differenz von über
5 cm³ zwischen dem kleinstmöglichen und dem größtmöglichen