Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

kommende Papierstreifen gefaltet, die Strecke AB ist die Knickkante. Der geknickte Streifen läuft dann nach oben zum nächsten Knick an der Kante CD, danach nach rechts unten zur Kante AE und von dort schließlich nach links oben.
    Eine Knickkante funktioniert genau wie ein Spiegel: Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Also muss α   +   γ gleich dem Außenwinkel am Punkt A sein. Die Größe des Außenwinkels kennen wir bereits. Weil AB parallel zu CE ist, ist der Winkel β   +   β. Also gilt α   +   γ   =   β   +   β. Daraus folgt wiederum, dass die Dreiecke ACE und ABD gleichschenklig sind. Weil ACD ebenfalls gleichschenklig ist, sind die vier Diagonalen AC, AD, BD und CE alle gleich lang.
    Betrachten wir nun die Diagonale AC. Der von links oben verlaufende Papierstreifen hat die Breite sin(α)   ×   AC. Nach dem Falten läuft der Streifen nach oben Richtung CD. Seine Breite können wir mit sin(γ)   ×   AC berechnen. Weil sich die Breite des Streifens ja nicht verändert, müssen die Winkel α und γ gleich groß sein. Daraus folgt sofort: α   =   β   =   γ.
    Daraus folgt wiederum, dass die Diagonale BE genauso lang ist wie die übrigen vier Diagonalen. Und daraus folgt schließlich, dass in unserem Fünfeck alle Innenwinkel und alle Seiten gleich groß sind. Also handelt es sich tatsächlich um ein regelmäßiges Fünfeck. Damit sind wir fertig mit dem nicht ganz einfachen Beweis.
    Winkel dritteln
    Das ist die Quadratur des Kreises! Diese Redewendung haben Sie sicher schon gehört. Und wahrscheinlich wissen Sie auch, woher sie kommt. Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, einen Kreis in ein Quadrat mit genauso großer Fläche umzuwandeln. Aber erst im 19. Jahrhundert konnte der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann beweisen, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist. Schuld daran ist übrigens die Kreiszahl Pi.
    Nicht ganz so bekannt wie die Quadratur des Kreises ist das Problem der Dreiteilung eines Winkels. Eine Strecke mit Zirkel und Lineal zu dritteln, bereitet keine großen Schwierigkeiten. Aber wie drittelt man einen Winkel?
    Schon die alten Griechen haben sich daran versucht – ohne Erfolg. Es dauerte ebenfalls rund 2000 Jahre, bis ein Mathematiker einen Beweis präsentierte: Pierre Laurent Wantzel (1814–1884) zeigte, dass diese Aufgabe mit Zirkel und Lineal unlösbar ist.
    Wenn Sie ein Pizzastück fair dritteln wollen, bleibt Ihnen also eigentlich nichts anderes übrig, als zu einem Winkelmesser zu greifen, den Winkel abzulesen, zu dritteln und dann die Schnittlinie zu kennzeichnen.
    Es gibt aber einen einfachen Trick, mit dem das eigentlich Unmögliche, die Dreiteilung eines Winkels, doch gelingt. Sie müssen das Blatt mit dem aufgezeichneten Winkel nur geschickt falten.
              
    Die Zeichnung zeigt den Winkel PBC, den wir in drei gleich große Stücke teilen möchten. Seine Schenkel werden von den Strecken PB und BC gebildet, B ist der Scheitelpunkt des zu drittelnden Winkels.
    Die Punkte A, B, C, D markieren die Eckpunkte unseres Blattes Papier. Wir zeichnen zuerst etwa in der Mitte des Blattes eine waagerechte Strecke EF ein. Genau in der Mitte zwischen EF und BC, der unteren Blattkante, zeichnen wir eine zweite Strecke GH ein, ebenfalls parallel zur Blattkante.
    Jetzt beginnt das Falten: Wir fassen die Ecke B und schieben sie über der Strecke GH so lange hin und her, bis Punkt E auf der Strecke BP liegt, dem oberen Schenkel des Winkels, den wir dritteln wollen. Wenn die Punkte B und E auf den besagten Strecken liegen, falten wir das Blatt wie in der Zeichnung zu sehen. Wir markieren die Stelle, an der B die Strecke GH berührt, und nennen diesen Punkt B', analog dazu markieren wir auch E' – siehe nächste Seite.
    Die Faltkante schneidet GH im Punkt I. Nun sind wir fertig: Die Strecken BB' und BI dritteln unseren Winkel PBC.
              
    Exakt gedrittelt
    Man möchte kaum glauben, dass man mit diesem simplen Falttrick ein Problem löst, das Mathematiker mit Zirkel und Lineal allein nicht lösen können.
    Aber haben wir den Winkel auch exakt gedrittelt? Das ist nicht allzu schwer zu beweisen. Weil wir entlang der Strecke A'I gefaltet haben, ergeben sich eine Reihe rechter Winkel. Die Strecken EE' und BB' stehen senkrecht auf der Faltkante. Der Beginn der Faltkante am Punkt A' und die Punkte B und B' bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Die Faltkante halbiert den Winkel an der oberen Spitze des Dreiecks, die beiden