Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

eine runde Pizza in 6 exakt gleich große Stücke zerschneidet?
    Sie brauchen dazu ein regelmäßiges Sechseck. Mit der eben genutzten Konstruktion kommen wir nicht weiter, denn wir müssten dann einen Winkel dritteln. Mit Zirkel und Lineal ist das für beliebige Winkel jedoch leider unmöglich – das haben Mathematiker bewiesen.
    Wir bekommen das regelmäßige Sechseck aber trotzdem hin, wenn wir seine besonderen Eigenschaften ausnutzen. Ein regelmäßiges Sechseck besteht nämlich aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die wir an der Spitze zusammenlegen – siehe Zeichnung.
          
    Regelmäßiges Sechseck
    Schauen wir uns den Umkreis dieses Sechsecks an: Sein Radius r entspricht genau der Seitenlänge der gleichseitigen Dreiecke. Daher ist der Abstand zweier benachbarter Eckpunkte genauso lang wie der Radius r.
    Um ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren, zeichnen wir einen Kreis und behalten den Radius im Zirkel. Das heißt: Wir ändern die Zirkelstellung nicht, der Abstand der beiden Schenkelspitzen beträgt weiterhin r. Dann legen wir einen Eckpunkt auf dem Kreis willkürlich fest, stechen dort den Zirkel ein und zeichnen Kreisbögen in beide Richtungen. An den Schnittpunkten mit dem Umkreis stechen wir wieder den Zirkel ein und wiederholen das Verfahren, bis wir alle sechs Eckpunkte haben.
    Wenn Sie wissen, wie man eine Pizza sechstelt, können Sie diese auch in 12 oder 24 gleich große Stücke zerlegen. Sie müssen dazu nur die Sechstel-Stücke halbieren beziehungsweise vierteln. Und einen Winkel zu halbieren, ist bekanntlich ein Kinderspiel.
    Mit dem Wissen um regelmäßige Sechsecke und Achtecke ist ein gelungener Kindergeburtstag aber noch nicht garantiert. Es könnten ja auch nur fünf Kinder da sein oder sieben oder neun. Das Pizzaschneiden wird dann zu einer geometrischen Herausforderung.
    Das Pentagon
    Mathematiker haben sich intensiv mit der Frage beschäftigt, welche regelmäßigen n-Ecke sich eigentlich allein mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Carl Friedrich Gauß konnte bereits Ende des 18. Jahrhunderts zeigen, dass dies bei einem 17-Eck gelingt. Doch es gibt auch regelmäßige Polygone, die nicht konstruierbar sind – zum Beispiel das 7-Eck, das 9-Eck und das 11-Eck. Hier kommen Sie letztlich nur mit einem Winkelmesser zum Ziel: Sie teilen 360 Grad durch die Eckenzahl und tragen die Winkel vom Kreismittelpunkt aus ab.
    Zumindest beim regelmäßigen Fünfeck reichen aber Zirkel und Lineal. Die Konstruktion eines sogenannten Pentagons ist nicht besonders schwierig. Allerdings müssen wir beim Beweis, dass dabei tatsächlich ein regelmäßiges Fünfeck herauskommt, etwas weiter ausholen.
    Beginnen wir mit der Konstruktion. Ausgangspunkt ist ein Kreis, in den wir wieder zwei zueinander senkrechte Durchmesser einzeichnen. Dann halbieren wir beim waagerecht eingezeichneten Durchmesser den Radius links, also die Strecke AM – siehe Zeichnung. Wir erhalten den Punkt D. Nun nehmen wir einen Zirkel und stechen diesen in den Punkt D. Als Zirkelradius wählen wir die Strecke DB.
          
    Vom Kreis zum Pentagon
    Der derart gezeichnete Kreisbogen schneidet den waagerechten Durchmesser im Punkt E. Die Strecke BE entspricht genau der Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks, das den vorgegebenen Kreis als Umkreis hat. Wenn wir mit dem Zirkel einen Bogen um B mit dem Radius BE ziehen, erhalten wir den Punkt F auf dem vorgegebenen Kreis.
    Die Strecke BF ist eine Seite des gesuchten regelmäßigen Fünfecks. Die übrigen drei Eckpunkte kann man leicht konstruieren, indem man BF in den Zirkel nimmt und von den Punkten B und F aus Kreisbögen zieht.
    Ich möchte Ihnen nun beweisen, dass bei dieser Konstruktion tatsächlich ein regelmäßiges Fünfeck entsteht. Weil der Beweis etwas länger ist, folgt hier nur der erste Teil. Den zweiten Teil finden Sie im Anhang. Wenn Sie nicht so tief in das Thema einsteigen möchten, können Sie die folgende Passage auch überspringen.

    Ich rechne zuerst aus, wie lang die Fünfeck-Seite BF im Verhältnis zum Radius des gegebenen Kreises ist. Diesen Radius, der der Strecke AM entspricht, nennen wir r. Die Seitenlänge BF bezeichnen wir mit a.
    Mit dem Satz des Pythagoras können wir den Radius des zuerst gezeichneten Kreisbogens ausrechnen, welcher den Strecken DB und DE entspricht. Es gilt:

    Mit dem Satz des Pythagoras rechnen wir nun beim Dreieck BME weiter. Die Strecke BE entspricht der Seitenlänge a unseres Fünfecks, BM dem Radius r. Und ME ist die