Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

  999. Eine nur aus n Neunen bestehende Zahl ist auf jeden Fall durch 3 teilbar – und übrigens auch durch 9!
    Wozu brauchen wir diese Aussage über Zehnerpotenzen? Unser Zahlensystem beruht ja gerade auf Zehnerpotenzen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 35648. Wir können sie auch in der Form

    schreiben. Die Ziffern der Zahl 35648 stehen als Faktoren vor Zehnerpotenzen. Und wir wissen bereits, dass jede Zehnerpotenz beim Teilen durch 3 den Rest 1 hat.
    Wir müssen nun also schauen, was mit der Teilbarkeit und dem Rest einer Zahl passiert, wenn wir sie mit einem Faktor multiplizieren. Nehmen wir die zweite Ziffer unserer Beispielzahl 35648, das ist eine 5. 10 3 hat den Rest 1, wie groß ist dann der Rest von 5   ×   10 3 ?
    Wenn wir 10 3 in der Form 3   ×   333   +   1 schreiben, dann gilt:

    Wir sehen sofort, dass der Rest von 5   ×   10 3 genau 5   ×   1   =   5 ist.
    Auf die gleiche Weise können wir zeigen, dass der Rest von m   ×   10 n beim Teilen durch 3 genau m ist, wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind.
    Die eben für Zehnerpotenzen und das Teilen durch 3 hergeleitete Multiplikationsregel gilt sogar allgemein für Reste einer Zahl a bezüglich der Division durch eine Zahl c. Wenn ich a mit der natürlichen Zahl b multipliziere und wissen will, wie groß der Rest des Produkts bei der Division durch c ist, nehme ich einfach den Rest von a und multipliziere ihn mit b.

    Wir sind jetzt fast fertig mit dem Quersummenbeweis. Zeigen müssen wir nur noch, dass ich auch beim Addieren von Zahlen lediglich auf die Reste zu schauen brauche. Nehmen wir die Summe 3   ×   10 4   +   5   ×   10 3 :

    Wir sehen, dass wir die Summe der zwei Zahlen so umstellen können, dass sie sich aus den beiden Resten der Summanden, also 3   ×   1 und 5   ×   1, und einer durch 3 teilbaren Zahl zusammensetzt. Also können wir schreiben:

    Auch hier gilt allgemein: Der Rest von a   +   b bezüglich der Division durch c ist einfach die Summe der Reste von a und von b.

Kleiner Exkurs
Mathematiker benutzen beim Arbeiten mit Resten den Ausdruck Modulo . Den Rest von 8 bei der Division durch 3 schreiben sie folgendermaßen:

8 mod 3   =   2

Die Regeln für die Resteberechnung beim Addieren und Multiplizieren lauten:

(b   ×   a) mod n   =   b   ×   (a mod n)
(a   +   b) mod n   =   a mod n   +   b mod n

Ich werde die Modulo-Schreibweise hier nicht verwenden, sie taucht aber im Kapitel 7 beim Kalenderrechnen auf.
    Jetzt ist klar, warum die Quersummenberechnung uns sofort den gesuchten Rest bei der Division durch 3 liefert. Nehmen wir wieder unsere Beispielzahl 35648:

    Wenn ich die Quersumme 3   +   5   +   6   +   4   +   8 berechne, zähle ich die Reste der verschiedenen Vielfachen der Zehnerpotenzen beim Teilen durch 3 zusammen. Das Ergebnis 26 ist nicht durch 3 teilbar, und somit gilt dies auch für die Ausgangszahl. Analog funktioniert das Ganze übrigens auch mit der 9. Auch hier liefert die Quersumme den gesuchten Rest. Damit haben wir gezeigt, warum der Quersummentrick bei den Teilern 3 und 9 funktioniert.
    Die Elferregel
    Wir kennen bereits die Regeln für die Teiler 2, 3, 4, 5, 8, 9 und 10. Wie aber stelle ich fest, ob eine Zahl ein Vielfaches von 11 ist? Auch dafür gibt es einen cleveren Trick. Wir berechnen dabei keine normale Quersumme, sondern die sogenannte alternierende Quersumme. Bei der Zahl 35648 beträgt diese

    Plus und Minus wechseln sich ab – daher der Name alternierende Quersumme. Das Ergebnis 8 ist nicht durch 11 teilbar, deshalb ist auch 35648 kein Vielfaches von 11. Wenn Sie diesen Trick noch nicht kennen, wirkt er ein wenig wie Zauberei. Hier kommt die Erklärung für die Elferregel.
    Geradzahlige Zehnerpotenzen, also 10 2 , 10 4 , 10 6 und so weiter, lassen immer den Rest 1 bei der Division durch 11. Das zu zeigen, ist nicht besonders schwer. Die Zahl 10 2n   –   1 besteht immer aus 2n Neunen: 999….999. Wenn man diese Zahl durch 11 dividiert, erhält man eine (2n   –   1)-stellige Zahl der Form 90909….909. Diese Zahl beginnt und endet also mit 9, ansonsten wechseln sich aber 0 und 9 stets ab. Probieren Sie ’s aus für 99, 9999 und 999999!
    Ungeradzahlige Zehnerpotenzen lassen bei der Division durch 11 den Rest 10. Das zeigen wir einfach mithilfe der Multiplikationsregel für Reste, die wir vorhin hergeleitet haben. Aus dem vorherigen Absatz wissen wir, dass 10 2n beim Teilen durch 11 den Rest 1 lässt. Dann hat aber das Produkt