Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

gleich großen Winkel nennen wir α.
    Der Winkel CBB' ist ebenfalls so groß wie α, denn wenn man die Innenwinkel-Summe der linken Hälfte des eben erwähnten gleichschenkeligen Dreiecks betrachtet, stellt sich heraus, dass der Winkel B'BA   =   90   – α ist. Gleiches gilt für den Winkel BB'G und aus Symmetriegründen für den Winkel IBB'. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass der Winkel IBE', den wir α' nennen, ebenfalls so groß wie α ist.
    Die Verlängerung der Strecke BI steht wegen der Faltung, die einer Spiegelung entspricht, senkrecht auf E'B'. Wenn die beiden Seiten BE' und BB' gleich lang wären, wäre BB'E' ein gleichschenkliges Dreieck und das Lot automatisch auch die Winkelhalbierende, was bedeuten würde, dass gilt α   =   α'.
    Tatsächlich ist BE' genauso lang wie BB'. Denn die vier Punkte E, E', B, B' bilden ein Trapez, dessen Symmetrieachse die Faltkante ist. Deshalb sind die beiden Diagonalen BE' und EB' gleich lang. EB' wiederum ist genauso lang wie BB', denn GH liegt genau in der Mitte zwischen EF und BC. Also ist das Dreieck BB'E' tatsächlich gleichschenklig. Und wir haben damit bewiesen, dass die Strecken BI und BB' unseren vorgegebenen Winkel tatsächlich dritteln.
    Ich staune immer noch, welche Kunststücke mit Origamics möglich sind. Ist es nicht verrückt, dass ein Knick im Papier ein mit Zirkel und Lineal unlösbares Problem zu einer fast schon kinderleichten Aufgabe macht?
    Noch etwas finde ich erstaunlich: Ausgerechnet der Fünfeckknoten, der selbst so leicht auszuführen ist, macht mathematisch gesehen die meiste Arbeit. Denn zu beweisen, dass beim Papierstreifenverknoten wirklich ein regelmäßiges Fünfeck entsteht, ist nicht ganz so einfach wie der Beweis der Winkeldreiteilung.
    Egal, ob Sie der komplizierten Beweisführung folgen konnten oder nicht – auf jeden Fall haben Sie nun das geometrische Rüstzeug, um sich weder vor Ostereiern noch dem Schneiden von Pizza fürchten zu müssten.
    Aufgaben
    Aufgabe 6   *  
    Die Seite eines Rechtecks wird um 50 Prozent verlängert. Um welche Prozentzahl müssen Sie die andere Seite verkürzen, damit sich die Fläche des Rechtecks nicht ändert?
    Aufgabe 7   **  
    Wie groß ist der Innenwinkel in einem regelmäßigen n-Eck?
    Aufgabe 8   **  
    Die Zeiger der Uhr zeigen die Zeit 16.20 Uhr an. Wie groß ist der Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger in diesem Moment?
    Aufgabe 9   ***  
    Über jeder Seite eines Quadrats wird nach außen ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert. Die Fläche jedes dieser Dreiecke soll genauso groß sein wie die Fläche des Quadrats. Wie groß ist der Abstand von zwei gegenüberliegenden Spitzen des vierzackigen Sterns?
    Aufgabe 10   ****  
    Gegeben ist ein Winkel mit der Größe von 63 Grad. Dritteln Sie diesen Winkel allein mithilfe von Zirkel und Lineal. Sie dürfen das Papier nicht falten.



Ist 2487 ein Vielfaches von 7? Oder von 13? Man sieht Zahlen ihre Teiler oft nicht an. Doch es gibt raffinierte Verfahren, um auch ohne Taschenrechner schnell zu prüfen, ob eine Zahl durch 9, 11 oder 13 teilbar ist. Wer sie gut beherrscht, kann sie sogar für magische Tricks benutzen.
    Teilen will gelernt sein. Diese Erfahrung machen nicht nur Kinder beim Spielen miteinander. Auch im täglichen Umgang mit Zahlen geht es oft darum, Dinge gerecht aufzuteilen. Meist klappt das auch recht gut. Mitunter muss man sich aber ganz schön den Kopf zerbrechen, damit sich niemand benachteiligt fühlt. Ein kurioses Beispiel dafür ist das folgende Rätsel:
Anton, Karl und Josef haben zusammen 17 Schafe, die sie abwechselnd hüten. Anton gehört die Hälfte, Karl ein Drittel und Josef ein Neuntel der Tiere. Nach einem Streit möchten sie getrennte Wege gehen und die Schafe unter sich aufteilen. Wie kriegen sie das hin, ohne ein Tier schlachten zu müssen?
    Schon auf den ersten Blick sieht man, dass sich die Aufgabe nicht einfach so lösen lässt. Wenn Anton die Hälfte der Schafe gehört, dann sind das 17/2   =   8,5 Tiere. Sie sollen jedoch nicht geschlachtet werden. Um das Rätsel zu lösen, müssen die drei Männer zu einem Kniff greifen. Sie leihen sich ein Schaf, sodass sie insgesamt 18 Tiere haben. Diese teilen sie dann nach dem vorgegebenen Schlüssel auf. Also bekommt Anton 9 Schafe (die Hälfte), Karl 6 (ein Drittel) und Josef 2 (ein Neuntel). Dabei bleibt genau ein Schaf übrig – das geliehene – und das geben die Schäfer dann wieder zurück.
    Mathematisch präzise ist das natürlich nicht,