Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Titel: Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition) Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Holger Dambeck

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schließlich ist die Hälfte von 17 nicht 9, sondern 8,5. Aber gerecht ist die Aufteilung trotzdem, denn das Verhältnis der Schafe stimmt genau, weil 9 zu 6 zu 2 genau 1/2 zu 1/3 zu 1/9 entspricht.
    Der Kunstgriff mit dem geliehenen Schaf funktioniert übrigens nur, weil 1/2 + 1/3 + 1/9 nicht genau 1 ergibt, sondern 17/18. Würden die drei Männer die 17 Tiere streng nach dem Schlüssel teilen – und dabei zwangsläufig mehrere Tiere schlachten –, bliebe am Ende ein 17/18 Schaf übrig, das niemandem gehört.
    Derartige Teilungen sollte man natürlich möglichst vermeiden – nicht nur aus der Perspektive des Schafes. Wer rechnet schon gern mit krummen Zahlen? Daher möchte ich Ihnen in diesem Kapitel Tricks beibringen, mit denen Sie schnell herausfinden können, ob eine natürliche Zahl glatt durch eine andere teilbar ist.
    Wahrscheinlich kennen Sie aus der Schule noch den alten Kunstgriff der Quersumme, die einem verrät, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist. Aber ist Ihnen auch klar, warum dieser Trick überhaupt funktioniert? Und ob es ähnliche Kniffe für das Teilen durch 11 oder 13 gibt? Eine Möglichkeit dazu ist die sogenannte Märchenzahl 1001, die exakt dem Produkt der Zahlen 7, 11 und 13 entspricht – dazu gleich mehr.
    Fangen wir erst mal ganz einfach an. Woran erkenne ich, ob eine natürliche Zahl durch 2 teilbar ist? Sie muss gerade sein, dann kann ich sie auch ohne Rest durch 2 dividieren. Und eine Zahl ist genau dann gerade, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
    Bei der 5 und der 10 ist es ähnlich einfach. Endet eine Zahl auf 0, ist sie durch 10 teilbar. Endet sie auf 5 oder 0, ist die 5 auf jeden Fall ein Teiler.
    Wie lautet die Regel für die 4? Hier brauchen wir uns nur die letzten beiden Ziffern anzuschauen. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus Zehner- und Einerstelle gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Nehmen wir das Beispiel 35648. Die Zahl endet auf 48. 48 ist durch 4 teilbar, also muss es auch 35648 sein. Das ist so, weil 100 und damit automatisch auch alle Vielfachen von 100 immer durch 4 teilbar sind.
    Anders gesagt: Eine beliebige natürliche Zahl, deren letzten beiden Ziffern jeweils 0 sind, ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von 4. Ob eine Zahl durch 4 teilbar ist oder nicht, entscheiden allein ihre letzten zwei Ziffern.
    Wie der Quersummentrick funktioniert
    Die Regel für die 8 ist ganz ähnlich. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern als Zahl durch 8 teilbar sind. Für unser Beispiel 35648 trifft das zu, denn 648 = 81 × 8. Diese Regel funktioniert, weil 1000 und alle ganzzahligen Vielfachen davon durch 8 teilbar sind (125 × 8 = 1000).
    Die Teilbarkeitsregel für die 3 habe ich bereits erwähnt. Immer dann, wenn die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, ist auch die Zahl selbst durch 3 teilbar. Für unsere Beispielzahl 35648 trifft das übrigens nicht zu, denn ihre Quersumme ist 26.
    Mit diesem Wissen können wir binnen weniger Sekunden prüfen, ob eine zehnstellige Zahl durch 3 teilbar ist, zum Beispiel 1234567890. Die Quersumme beträgt 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 und 45 ist durch 3 teilbar. Übrigens: Falls die Quersumme selbst eine große Zahl ist, von der Sie nicht wissen, ob sie ein Vielfaches von 3 ist, können Sie wiederum die Quersumme der Quersumme berechnen und prüfen, ob das dann kleinere, handlichere Ergebnis durch 3 teilbar ist. Im Beispiel hier wird aus der ersten Quersumme 45 dann deren Quersumme 9, die durch 3 teilbar ist.
    Etwas schwieriger ist die Erklärung, warum der Trick mit der Quersumme überhaupt funktioniert. Wenn Sie das Ganze gern selbst beweisen wollen, dann lesen Sie bitte erst einmal nicht weiter.
    Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst schauen wir uns an, welchen Rest Zehnerpotenzen bei der Division durch 3 lassen. Danach zeigen wir, dass die Quersumme einer Zahl tatsächlich direkt zum gesuchten Rest führt.
    Fangen wir an mit den Zehnerpotenzen, die wir allgemein in der Form 10 n schreiben können. Jede Zehnerpotenz beginnend bei 10 0 = 1, 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, … 10 n = 100000…0000 (n Nullen) lässt bei der Division durch 3 den Rest 1.
    Alles Neunen!
    Das zu beweisen, ist zum Glück nicht schwer. Wenn wir von 10 n einfach 1 abziehen, erhalten wir eine n-stellige Zahl, die nur aus Neunen besteht. Zum Beispiel n = 3: 1000 – 1 =