Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Differenz aus DE und r/2. Es gilt:

    Im nächsten Schritt müssen wir zeigen, dass diese Beziehung zwischen Radius und Seitenlänge für das regelmäßige Pentagon gilt. Diesen Teil des Beweises finden Sie im Anhang ab Seite 244.
    Der Beweis zum regelmäßigen Fünfeck ist eine ziemlich komplizierte Rechnung, wie ich sie selbst auch nicht so gern mache. Die Chancen sind gut, dass man dabei ein Vorzeichen falsch setzt oder einen Ausdruck nicht richtig quadriert – und schon ist die ganze Kalkulation falsch. Aber wenn wir beweisen wollen, dass sich das Pentagon tatsächlich mit Lineal und Zirkel zeichnen lässt, kommen wir um etwas Rechnerei nicht herum.
    Falten statt Zeichnen: Origamics
    Sie kennen sicher die japanische Papierfaltkunst Origami. Sterne, Kraniche, Schwäne – all das lässt sich aus einem in der Regel quadratischen Papierbogen zaubern. Auch Mathematiker interessieren sich für das raffinierte Falten, denn es ermöglicht geometrische Kunststücke, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gelingen. Für mathematisch motivierte Faltungen wurde eigens ein Kunstwort kreiert: Origamics – ein Mix aus Origami und Mathematics, dem englischen Wort für Mathematik.
    Einige dieser geometrischen Faltkunststücke möchte ich Ihnen zum Schluss dieses Kapitels vorstellen. Beginnen wir mit dem regelmäßigen Fünfeck. Das lässt sich nämlich auch falten. Sie benötigen dazu nur einen langen, schmalen Papierstreifen. Sie können zum Beispiel von einem A4-Blatt an der langen Seite einen 3 bis 4 Zentimeter breiten Streifen abschneiden. Achten Sie darauf, dass er eine konstante Breite hat.
    Nehmen Sie den Streifen, legen Sie mit dem einen Ende eine Schlaufe und ziehen Sie das andere Ende des Streifens durch diese Schlaufe. Sie machen also einen einfachen Knoten in den Papierstreifen. Nun ist Fingerspitzengefühl gefragt: Ziehen Sie den Knoten Stück für Stück immer enger zu. Dabei darf der Streifen jedoch nirgends zusammengedrückt werden. Mit der entsprechenden Sorgfalt entsteht ein Winkel, der genau die Größe von 108° hat – der Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks.
              
    Vom Knoten zum regelmäßigen Fünfeck
    Drei Seiten des Fünfecks sind schon gut zu erkennen. Jetzt müssen Sie die beiden überstehenden Enden des Papierstreifens nur noch mit einer Schere kürzen und sauber umfalten – fertig ist Ihr regelmäßiges Fünfeck!
    Als mathematisch Interessierter stellt sich die Frage: Ist das Fünfeck tatsächlich regelmäßig? Sind also alle Innenwinkel und alle Seiten gleich groß? Wenn Sie mögen, können Sie gern selbst versuchen, das zu beweisen.
    Oder Sie lassen es sich von mir erklären. Der Beweis ist leider nicht ganz leicht. Die Zeichnung auf der nächsten Seite zeigt einen Knoten – allerdings im Vergleich zur Skizze oben um 180 Grad gedreht. Die Ecken des Fünfecks, von dem wir nicht wissen, ob es regelmäßig ist, bezeichnen wir mit A, B, C, D und E.
              
    In unserem Fünfeck gibt es mehrere parallele Strecken – zum Beispiel DE und AC. Sie sind parallel, weil sie von dem Rand des verknoteten Papierstreifens gebildet werden. Außerdem wissen wir, dass der Knoten symmetrisch sein muss. Wenn wir Vorder- und Rückseite vertauschen, den Knoten also drehen, ändert sich am Knoten selbst nichts. Daher können wir eine Symmetrieachse einzeichnen – in der Zeichnung ist das die gestrichelte senkrechte Linie. Wegen der Symmetrie wissen wir auch, dass die Diagonale BE parallel zu CD sein muss.
    Nun beschriften wir die vielen Winkel im Fünfeck und nutzen dabei aus, dass eine Gerade zwei andere, zueinander parallele Geraden stets im gleichen Winkel schneidet. Zum Beispiel sind die Winkel ACE und BAC gleich groß, wir bezeichnen sie mit α. Aus Symmetriegründen sind die jeweils drei Winkel an den Ecken C und D sowie B und E gleich groß. Wir sehen, dass drei verschiedene Winkel α, β, γ ausreichen, um sämtliche 15 Innenwinkel zu beschriften. Zum Beispiel sind die Winkel ECD (=   β) und BEC gleich groß, weil die Strecke CE die beiden parallelen Strecken CD und BE schneidet. Also ist der Winkel BEC   =   β. Analog leiten wir die übrigen Innenwinkel ab. Wir müssen nun zeigen, dass all diese Winkel gleich groß sind (α   =   β   =   γ) und auch die Seiten des Fünfecks gleich lang.
    Zuerst schauen wir uns den Außenwinkel am Punkt A an, der 2β groß ist, weil er der Wechselwinkel zum Winkel DBA an den Parallelen BD und AE ist. Hier wird der von rechts oben