Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Titel: Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition) Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Holger Dambeck

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höchstens dreistellige Endergebnis erreicht ist, rechnen Sie wie gewohnt weiter – berücksichtigen dabei aber das negative Vorzeichen:

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    7 teilt 553 und deshalb auch 441221333, 11 und 13 sind keine Teiler.
    Selbst wenn die im letzten Schritt mit der 1001er-Regel berechnete Zahl negativ sein sollte, ist das kein Problem für das Überprüfen der Teilbarkeit. Die Zahl –22 beispielsweise ist glatt durch 11 teilbar, –23 hingegen nicht. Wir können ein eventuell im letzten Schritt auftretendes Minus also einfach ignorieren.
    Ahnen Sie, was hinter der Märchenzahl-Regel steckt? Im Grunde habe ich es schon verraten. Bei der Methode ziehe ich mehrmals hintereinander von einer Zahl das 1001-Fache einer anderen Zahl ab. An den Resten der ursprünglichen Zahl beim Teilen durch 7, 11 oder 13 ändert sich durch diese Operation nichts, denn die abgezogene Zahl ist ein Vielfaches von 1001 = 7 × 11 × 13, hat also bei der Division durch 7, 11 und 13 den Rest 0.
    In unserem Beispiel 123456789 lautet der erste Schritt in vollständiger Form:

    Die Zahl 123123000 entspricht 123 × 1001 × 10 3 . Der zweite Schritt lautet:

    Die Zahl 333333 entspricht 333 × 1001, also ebenfalls einem Vielfachen von 1001.
    Das Kreuz mit dem Teilen
    Das Rechnen mit der Märchenzahl ist genial – damit hat sich das Thema Teilbarkeitsregeln aber noch längst nicht erschöpft. In einem bereits 1931 erschienenen Buch von Karl Menninger habe ich ein allgemeines Verfahren entdeckt, das für beliebige zweistellige Teiler und sogar für manche dreistelligen funktioniert.
    Die Methode basiert auf sogenannten Ergänzungsresten und funktioniert im Prinzip genauso wie die eben erläuterten Tricks. Sie ist eine Verallgemeinerung der Märchenzahlregel. In beiden Fällen ziehe ich von meiner zu prüfenden Zahl wiederholt ein Vielfaches meines Teilers ab und verkleinere diese dadurch immer weiter.
    Beim Arbeiten mit Ergänzungsresten muss ich für jeden Teiler zunächst eine geschickte Darstellung der Zahl 100 oder 1000 finden. Ich suche dabei ein Vielfaches des Teilers, das möglichst nahe an der 100 oder der 1000 liegt. Was dann noch bis zur 100 oder 1000 fehlt, nenne ich Ergänzungsrest.
    Wie das geht, versteht man am besten an konkreten Beispielen. Bei der 7 gilt 7 × 14 + 2 = 100. Wenn ich die Zahl 833 auf die Teilbarkeit durch 7 prüfen will, streiche ich die Hunderterstelle 8 links weg, muss aber 8 × 2 hinzuaddieren, damit ich die Ausgangszahl tatsächlich um ein Vielfaches von 7 verkleinert habe.

    49 ist nun aber durch 7 teilbar, also muss das auch für 833 zutreffen. Und in der Tat ist 7 × 119 = 833.
    Das Verfahren mit Ergänzungsresten funktioniert am besten, wenn der Rest zu 100 oder zu 1000 möglichst klein ist. Beim Teiler 111 ist das der Fall, denn 9 × 111 + 1 = 1000.
    Ist zum Beispiel 45334 durch 111 teilbar? Ich ziehe 45 × 1000 ab und addiere 45 × 1 hinzu, sodass ich letztlich 45 × 999 abgezogen habe und damit ein Vielfaches von 111.

    Weil 380 kein ganzzahliges Vielfaches von 111 ist, ist auch 45335 nicht durch 111 teilbar.
    Unser Märchenzahltrick entpuppt sich bei genauerer Betrachtung tatsächlich als Spezialfall des Verfahrens mit Ergänzungsresten. Es gilt bekanntlich 7 × 11 × 13 – 1 = 1000. Der Ergänzungsrest ist in diesem Fall –1, also negativ. Wenn ich bei der zu prüfenden Zahl die Tausender streiche, muss ich die gestrichene Zahl zusätzlich von der übrig bleibenden dreistelligen Zahl abziehen, damit die Rechnung wieder stimmt.
    Das Rechnen mit Ergänzungsresten kann im Einzelfall etwas umständlich sein – es stammt aber auch aus einer Zeit, als es noch keine Taschenrechner gab. Sehen wir uns ein Beispiel mit dem Teiler 19 an. Ist 5339 durch 19 teilbar? Es gilt 19 × 5 + 5 = 100. Wir ziehen 5300 von 5339 ab und addieren dann 53 × 5 = 265 hinzu.

    Diese Zahl verkleinere ich weiter, indem ich 300 abziehe und 3 × 5 = 15 hinzurechne.

    Also ist 5339 durch 19 teilbar. Der Taschenrechner bestätigt dies 5339:19 = 281.
    Das Verfahren mit Ergänzungsresten mag immer zum Ziel führen, im Alltag, glaube ich, brauchen wir es kaum. Da greifen wir doch eher zum Taschenrechner, der ja mittlerweile auf jedem Mobiltelefon Standard ist. Trotzdem finde ich die Methode interessant – und deshalb habe ich sie hier vorgestellt. Das