Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Titel: Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition) Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Holger Dambeck

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10 × 10 2n = 10 2n + 1 den Rest 10 × 1 = 10. Statt mit dem Rest 10 können wir auch mit dem Rest –1 arbeiten, denn die Differenz zwischen 10 und –1 ist genau 11. Damit haben wir gezeigt, dass ungeradzahlige Zehnerpotenzen bei der Division durch 11 den Rest –1 lassen.
    Wenn ich weiß, dass 1, 100, 10000 und so weiter immer den Rest 1 bei der Division durch 11 lassen, und 10, 1000, 100000 immer den Rest –1, brauche ich die Ziffern einer Zahl nur noch mit dem richtigen Vorzeichen zu versehen und lande automatisch bei der alternierenden Quersumme. Für die Zahl 35648 komme ich so auf 3 – 5 + 6 – 4 + 8, also auf 8. Es ist übrigens egal, ob Sie bei der alternierenden Quersumme mit + oder – beginnen. Sie könnten auch –3 + 5 – 6 + 4 – 8 = –8 rechnen. Entscheidend ist, ob die alternierende Quersumme duch 11 teilbar ist, ihr Vorzeichen ist egal.
    Woran aber erkenne ich, ob eine Zahl durch 7, 13, 17 oder 19 teilbar ist? Sie werden staunen, selbst dafür gibt es Teilbarkeitsregeln!
    Zuerst möchte ich Ihnen aber ein Verfahren demonstrieren, das zum Prüfen beliebiger Teiler funktioniert, solange diese weder die Primfaktoren 2 noch 5 enthalten. Nehmen wir die Zahl 308. Ich möchte beispielsweise prüfen, ob diese durch 7 teilbar ist.
    Von hinten kürzen
    Die Methode, die wir dazu benutzen, ist simpel: Wir ziehen von der zu prüfenden Zahl 308 ein Vielfaches des Teilers 7 ab. Dabei wählen wir das Vielfache von 7 so, dass als Ergebnis der Subtraktion eine durch 10 teilbare Zahl herauskommt. Also 308 – 7 × 4 = 308 – 28 = 280. Von 280 streichen wir dann die 0 und prüfen danach die Teilbarkeit von 28 durch 7. 28 ist ein Vielfaches von 7 – daher trifft das auch für die Ausgangszahl 308 zu.
    Das Verfahren klappt auch für beliebige andere Teiler, solange diese weder die Primfaktoren 2 noch 5 enthalten.
    Beim Prüfen des Quotienten 11 ziehen Sie von 308 die Zahl 88 ab (= 8 × 11) und streichen beim Ergebnis 220 ebenfalls die 0 weg. 22 ist durch 11 teilbar, also gilt das auch für 308.
    Beim Überprüfen der 19 müssen Sie 38 (= 2 × 19) von 308 wegnehmen. Das Ergebnis 270 reduzieren Sie dann auf 27, was kein Vielfaches von 19 ist. Also ist die 19 auch kein Teiler von 308.
    Ich kann dieses Abziehen eines Teiler-Vielfachen und anschließende Streichen der 0 auch mehrmals nacheinander ausführen und somit sogar größere Zahlen untersuchen. Die Rechnung dauert dann zwar etwas länger, aber ich komme auf jeden Fall zum richtigen Ergebnis, ohne einen Taschenrechner zu benötigen.
    Noch eleganter finde ich die Märchenzahl-Methode. Damit kann man in einem Rutsch die Teilbarkeit für 7, 11 und 13 testen. Diese Regel nutzt aus, dass 7 × 11 × 13 genau 1001 ergibt. Sie kennen die Märchen aus 1001 Nacht, daher heißt 1001 auch Märchenzahl. Das Verfahren funktioniert folgendermaßen:
    Ich spalte die zu prüfende Zahl, zum Beispiel 134 768, von rechts beginnend in Gruppen zu je drei Ziffern auf. Dann ziehe ich die vorderste Gruppe, die aus bis zu drei Ziffern besteht, von der rechts daneben ab. Diese Schritte wiederhole ich mit der nächsten Dreiergruppe, die nun ganz vorn steht – und zwar so oft, bis nur noch eine höchstens dreistellige Zahl übrig bleibt. Wenn dieses Endergebnis durch 7, 11 oder 13 teilbar ist, gilt das auch für die ursprüngliche Zahl.
    Rechnen mit der Märchenzahl
    Das klingt komplizierter, als es ist! Nehmen wir folgendes Beispiel:

    Wir streichen die 134 vorn und ziehen diese Zahl von 768 ab.

    634 ist weder durch 7, 11 oder 13 teilbar – wie Sie das schnell prüfen können, habe ich eben erklärt. Deshalb teilen weder 7, 11 noch 13 die Ausgangszahl 134 768.
    Ich möchte die Märchenzahl-Methode noch an zwei weiteren Zahlen vorführen – und zwar an 24332 und 123456789

    308 ist nicht durch 13, aber durch 7 und 11 teilbar. Das haben wir eben mit der Methode des Streichens der 0 überprüft. Deshalb ist auch 24332 ein Vielfaches von 7 und 11.
    Besonders beeindruckend finde ich die 1001-Methode beim Prüfen großer Zahlen.

    Wir ziehen 123 von 456 ab, und im zweiten Schritt das Zwischenergebnis 333 von 789:

    Das Ergebnis 456 ist weder durch 7, 11 noch durch 13 teilbar. Dies gilt damit auch für 123456789.
    Es kann übrigens passieren, dass Sie bei der Rechnung in den Bereich der negativen Zahlen geraten. Geschieht dies, bevor das