Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

gibt, jeden Aufkleber genau 3710/540   =   6,9 Mal hat. Doch das stimmt nicht. Sieben Motive sind nur ein einziges Mal vertreten, diese Motive sind weder doppelt noch mehrfach da. Das älteste Geschwisterkind klebt sie in sein Album – allen anderen Kindern fehlen diese sieben Motive dann.
    Andererseits gibt es zwei Motive gleich 16-fach und eins sogar 17-fach. Auch hier der Hinweis: Dies sind Mittelwerte, wenn Sie 3710 Sticker kaufen, kann die Verteilung durchaus anders aussehen.
    Das folgende Diagramm zeigt, wie viele Motive durchschnittlich in welcher Häufigkeit vorhanden sind (auf ganze Zahlen gerundet, 3710 Sticker gekauft):
              
    Sammlerpech: 7 Motive sind nur einmal vorhanden (Säule ganz links), 1 Motiv ist hingegen gleich 17 Mal da (Säule ganz rechts) Quelle: Zeilberger
    Wenn bei unserem Beispiel zwei Geschwister gemeinsam sammelten, würden dem jüngeren Kind noch sieben Motive fehlen, weil diese in der Sammlung nur einmal vorhanden sind und schon im Album des großen Kindes kleben. Abgesehen von diesen fehlenden sieben Aufklebern hätten beide Kinder ihre Alben voll. Alle übrigen Motive sind schließlich doppelt, dreifach oder noch öfter da.
    Sammeln drei Geschwister gemeinsam, fehlen dem zweitältesten Kind weiterhin sieben Motive, dem drittältesten aber schon 7   +   18   =   25. Das entspricht genau der Zahl der Motive, die nur einfach oder doppelt vorhanden sind.
    Nach diesem Schema können wir leicht die Zahl der fehlenden Sticker ausrechnen. Wenn fünf Geschwister gemeinsam sammeln, fehlen dem jüngsten Kind alle 55 Motive, die nur vierfach da sind. Von den Dreifachen benötigen die Geschwister noch zwei Sätze, macht 36   ×   2   =   72, von den Zweifachen drei, also 18   ×   3   =   54 und von den nur einfach Vorhandenen vier Sätze, das sind 7   ×   4   =   28. Insgesamt kommt man so auf 55   +   72   +   54   +   28   =   209 Sticker, die den vier jüngeren Geschwistern fehlen, um ihre Alben zu füllen.
    Die Kinder könnten versuchen, mit anderen Kindern zu tauschen, um an die noch fehlenden Sticker zu kommen. Schließlich haben sie noch Hunderte Aufkleber übrig, die keiner von ihnen mehr braucht.
    Album voll für unter 100 Euro
    Panini, der Hersteller der Fußballsammelbilder, bietet aber auch an, fehlende Sticker nachzubestellen. Das kostet natürlich Geld, ist aber immer noch deutlich günstiger, als auf gut Glück weiter Tüten zu kaufen. Panini erlaubt pro Person das Nachordern von 50 verschiedenen Bildern. Für diese werden dann pro Stück nicht 12 Cent, sondern 18 Cent plus einmalig 3,00 Euro Versandkosten fällig – macht für 50 Stück insgesamt 12 Euro (alle Preisangaben von 2012). Bei 209 fehlenden Stickern müssen also 4 mal 50 Stück und dann noch mal 9 Stück bestellt werden, was inklusive Porto 52,62 Euro kostet.
    Vorher haben die fünf Geschwister bereits 3710 Bilder für 445,20 Euro gekauft. Insgesamt bezahlen sie deshalb 498 Euro für fünf vollständig gefüllte Alben und somit pro Person knapp hundert Euro.
    Die Geschwister müssen übrigens nicht nach einer strengen Hackordnung vorgehen, bei der das älteste Kind alle gekauften Sticker zuerst bekommt, sein Album füllt und nur Doppelte und Mehrfache weitergibt. Stattdessen kann jeder der fünf Sammler ein Fünftel der insgesamt 3710 Sticker kaufen – also 742 – und sein Album damit füllen. Alle Doppelten und Mehrfachen kommen dann in einen gemeinsamen Pool, aus dem sich jeder bedienen kann. Mathematisch gesehen macht es nämlich keinen Unterschied, ob eine Person 3710 Aufkleber oder fünf Personen jeweils 742 kaufen.
    Das gemeinsame Sammeln und Nachbestellen hat vielleicht nicht ganz den Zauber des hundertfachen Tütenöffnens – aber es spart auf jeden Fall eine Menge Geld.
    Trickst Panini?
    All die Überlegungen und Berechnungen stimmen natürlich nur unter der Voraussetzung, dass Panini die Aufkleber gleich verteilt in die Tüten steckt. Von Sammlern kommt aber immer wieder der Einwand, dass einzelne Teams oder Spieler häufiger auftauchen als andere. Das würde das Geschäft sicher ankurbeln. Aber hat Panini das nötig? Wir haben ja beim Geschwisterproblem gesehen, wie viele Aufkleber man 13-fach, 14-fach und sogar 16-fach hat, obwohl man intuitiv erwarten würde, dass jeder Sticker knapp siebenmal vorhanden ist.
    Nach den Stichproben, die ich kenne, gehe ich davon aus, dass die Sticker in der Tat gleich verteilt sind. Ich habe vor der EM 2012 Leser von SPIEGEL