Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

noch längst nicht voll gehabt. Denn es gab zur EM 2012 insgesamt 540 verschiedene Sticker des Herstellers Panini.
    Ein Tütchen mit fünf Stickern kostet übrigens 60 Cent. Für 540 Aufkleber hätten Sammler also mindestens 64,80 Euro ausgeben müssen. Wie aber bekommt man sein Sammelalbum möglichst günstig gefüllt? Man muss doppelte und dreifache Bilder mit Freunden, Mitschülern und Kollegen tauschen, sagen viele und haben natürlich recht damit. Ich werde Ihnen in diesem Kapitel nicht nur die mathematischen Hintergründe dafür erläutern, sondern auch Wege zeigen, wie Sie Ihr Album voll bekommen, ohne ein Vermögen dafür ausgeben zu müssen.
    Würfeln als Analogie
    Das Sammelbilderproblem ist glücklicherweise ganz gut zu verstehen. Es gehört in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wissen sicher, wie hoch die Wahrscheinlichkeit p ist, mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln. Ja, genau: p   =   1/6.
    Wissen Sie aber auch, wie oft Sie im Durchschnitt würfeln müssen, bis Sie eine Sechs haben? Die Rechnung ist nicht viel schwieriger. Sie nehmen die Wahrscheinlichkeit p und bilden das Reziprok, also 1/p. Weil p   =   1/6 ist, erhalten Sie als Ergebnis 6. Das bedeutet, dass Sie im Mittel sechsmal würfeln müssen, damit Sie mindestens eine Sechs haben. Sie werden manchmal nur drei Versuche benötigen, ein anderes Mal aber haben Sie auch nach zwölf Würfen noch keine Sechs.
    Falls Sie sehr viele Versuche machen und eine Wurfserie immer erst dann beenden, wenn Sie die erste Sechs haben, können Sie den Mittelwert der Wurfzahl ausrechnen. Bei sehr vielen durchgeführten Wurfserien dürfte als Mittelwert 6 herauskommen.
              
    Panini-Album EM 2012: 540 Sticker gesucht
    Nun zu unseren Fußballstickern. Nehmen wir an, wir haben uns ein Album gekauft, in das insgesamt 540 verschiedene Bilder gehören. Wenn ich noch keinen einzigen Sticker habe, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der erste, den ich bekomme, einer ist, den ich noch nicht habe? Genau 1. Denn ich habe ja bislang keinen einzigen Aufkleber. Also muss der erste gekaufte Aufkleber einer sein, der im Album noch fehlt.
    Nun der nächste Schritt: Ich habe schon einen Aufkleber. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Sticker einer ist, den ich noch nicht habe? Weil es 540 verschiedene Bilder gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit p dafür 539/540. Ich muss daher im Mittel 1/p Sticker kaufen – das sind 540/539 –, damit ich einen zweiten Aufkleber ins Album kleben kann. Diese Zahl – 1,0018 – liegt ganz knapp über 1. In der Regel wird also ein Aufkleber reichen.
    Weiter geht’s mit Sticker Nummer drei. Ich habe schon zwei verschiedene Aufkleber. Die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein dritter neu ist und nicht doppelt, beträgt 538/540. Daher muss ich durchschnittlich 1/p   =   540/538 Bilder kaufen, um noch ein drittes neues Bild zu haben. 540/538 ist übrigens 1,0037.
    Fassen wir zusammen: Damit ich drei verschiedene Sticker in meinem Album habe, muss ich durchschnittlich

    Aufkleber kaufen. Wenn ich 1 als Bruch 540/540 schreibe, erhalte ich:

    Das sieht verdächtig nach einer Regel aus, finden Sie nicht? In der Tat haben wir bereits den Anfang der Sammelbilderformel gefunden. Der nächste Term für vier verschiedene Bilder lautet   +   540/537, dann folgt 540/536 und so weiter.
    Der letzte fehlende Sticker ist der teuerste
    Bevor wir die Formel vollständig aufschreiben, schauen wir uns noch kurz an, was passiert, wenn unser Album fast vollständig gefüllt ist. Nehmen wir an, uns fehlt nur noch ein einziger Sticker. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu gekaufter Aufkleber gerade jener ist, den wir noch brauchen? Bei 540 verschiedenen Bildern beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/540. Das bedeutet wiederum, dass ich im Schnitt 1/p   =   540 Aufkleber kaufen muss, um den letzten noch fehlenden Sticker endlich in den Händen zu halten. Ein ziemlich großer Aufwand, finden Sie nicht?
              
    Alle da? Italiens Team ist schon mal vollständig
    Wenn noch zwei Sticker fehlen, beträgt die Wahrscheinlichkeit p, dass ein neu gekaufter Aufkleber einer der beiden gesuchten ist, immerhin 2/540. Also muss ich durchschnittlich 540/2   =   270 Bilder kaufen. Fehlen noch drei Bildchen, muss ich im Mittel 540/3   =   180 neue Aufkleber besorgen, um zumindest einen Sticker zu ergattern, der mir noch fehlt.
    Sie sehen, dass vor allem das Sammeln der letzten noch fehlenden