Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Aufkleber richtig teuer werden kann. Ein noch leeres Album hingegen füllt sich anfangs sehr flott.
    Die Sammelbilderformel – jetzt aufgeschrieben in umgekehrter Reihenfolge – lautet wie folgt:

    Den Ausdruck in der Klammer nennen Mathematiker Partialsumme der harmonischen Reihe.

    Für diese Partialsumme existiert leider keine Formel, es gibt aber zum Glück eine Näherungsformel, mit der man diese sperrige Summe leicht berechnen kann – zumindest mithilfe eines Taschenrechners:

    Dabei ist ln(n) der natürliche Logarithmus (zur Basis e   =   2,71…) und 0,5772 die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante, hier auf vier Stellen genau angegeben.
    Für das Panini-EM-Album von 2012 ergibt sich somit:

    Wenn wir ein Panini-Album also füllen und dabei doppelte oder mehrfache Sticker nicht mit anderen Sammlern tauschen wollen, müssen wir durchschnittlich 3710 Aufkleber kaufen. Das sind genau 742 Tütchen mit je 5 Stickern und würde uns 445,20 Euro kosten. Ein stolzer Preis!
    Das folgende Diagramm verdeutlicht, wie gut wir anfangs beim Sammeln vorankommen und wie die Zahl der zu kaufenden Aufkleber ganz am Ende regelrecht explodiert. Die waagerechte x-Achse zeigt die Zahl der gekauften Sticker. Auf der senkrechten y-Achse sehen wir, wie viele verschiedene Motive wir dann durchschnittlich schon haben dürften. Bei 500 Aufklebern sind es etwa 320, bei 1000 rund 450 und erst bei 3710 Stickern haben wir unser Album mit 540 verschiedenen Motiven gefüllt. Bedenken Sie: Dies sind Mittelwerte, ein Album kann sich schneller füllen, aber auch langsamer.
              
    Sammlerkurve: Erst wer 3710 Sticker kauft (x-Achse), darf mit allen 540 Motiven (y-Achse) rechnen
    Bei 3710 gekauften Aufklebern sind logischerweise viele doppelt, dreifach, vierfach. Da es 540 verschiedene Motive gibt, haben wir jedes dieser Motive im Schnitt 6,9-mal.
    Bei dieser Vielzahl mehrfacher Sticker liegt die Idee nah: Warum sammeln nicht von vornherein mehrere Personen gemeinsam und geben doppelte Sticker stets an andere Sammler aus ihrer Gruppe weiter? Und wie voll bekommen mehrere Sammler ihre Alben, wenn sie die 3710 Sticker untereinander aufteilen? Das auszurechnen, ist nicht so einfach.
    Unter Brüdern und Schwestern
    Das führt uns zum sogenannten Geschwister-Sammelbilderproblem – und ganz nebenbei auch zu einer Strategie, mit der man ein Album für wenig Geld vollbekommt, ohne diverse Stickertauschtreffs besuchen zu müssen.
    Beim Geschwister-Sammelbilderproblem gehen wir davon aus, dass jedes Geschwisterkind ein eigenes Sammelalbum besitzt. Um das Ganze mathematisch besser verstehen zu können, soll unter den Kindern eine klare Hackordnung herrschen: Der älteste Bruder oder die älteste Schwester kauft alle Sticker und füllt damit zuerst das eigene Album.
    Doppelte oder mehrfach vorhandene Sticker gibt das Kind an das zweitälteste Kind weiter. Dieses verfährt dann wie der große Bruder beziehungsweise die große Schwester: erst das eigene Album füllen, dann alles andere weitergeben. Ein siebenfach vorhandener Aufkleber reicht somit für sieben Kinder.
    Die Frage lautet nun: Wenn die Geschwister zum Beispiel gemeinsam 1000 Sticker kaufen, wie viele davon sind dann doppelt, dreifach, vierfach und so weiter? Mathematisch gesehen ist das deutlich anspruchsvoller als die eben hergeleitete Sammelbilderformel. Doch Mathematiker wären keine Mathematiker, wenn sie dieses Problem nicht längst untersucht und gelöst hätten – mit der sogenannten Foata-Han-Lass-Formel.
              
    Sammlerpech: doppelte Aufkleber
    Es würde den Rahmen dieses Kapitels sprengen, diese Formel hier herzuleiten. Uns interessiert ja vor allem das Ergebnis.
    Ich habe daher Doron Zeilberger von der Rutgers University in New Jersey kontaktiert, den ich als Autor eines wissenschaftlichen Aufsatzes über diese Formel kenne. Ich erklärte ihm kurz das Problem mit dem Panini-Album der EM 2012, und Zeilberger war so freundlich, ein paar Zahlen für mich zu ermitteln. Er hat das übrigens nicht mit dem Taschenrechner gemacht, das wäre wohl auch kaum gegangen, sondern mit der Spezialsoftware Maple.
    Mit diesem Programm hat er berechnet, wie viele Sticker wie oft auftauchen, wenn ein Fußball-Fan genau 3710 Aufkleber gekauft hat. Das ist exakt jene vorhin berechnete Motivzahl, die im Mittel zum Füllen eines Albums ausreicht.
    Die Zahlen haben mich überrascht! Zunächst dachte ich, dass ein Sammler bei 3710 gekauften Stickern, von denen es 540 verschiedene