Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

Multiplikation mit der Zahl (–1) übergeht in
    F n · (F n+1 + F n ) – F n+1 · F n+1 = (–1) n+1
    und durch Einsetzen von F n+2 für F n+1 + F n zu

    wird. Eine überschaubare Situation ist entstanden: Die Gleichung (4) ist nichts anderes als die Gleichung (3) mit n ersetzt durch n+1. Gut so. Damit ist der Induktionsschluss vollzogen und der Beweis erbracht.
    Jede Gleichung erzählt eine Geschichte. Welche Geschichte erzählt uns die Cassini-Gleichung? Was können wir aus ihr lernen? Im Kontext unserer Zerlegungsprobleme ist ihr Lehrwert nicht allzu versteckt: Man kann offenbar immer ein F n ×F n -Quadrat in ein F n–1 ×F n+1 -Rechteck umorganisieren, und der Unterschied der Flächeninhalte ist genau (–1) n , also entweder +1 oder –1.
    Damit ist der Effekt geklärt. Kein Wölkchen mehr am Problemhorizont. Die Fibonacci-Zahlen waren der Hauptdarsteller in dieser Analyse. Der Oscar für die beste weibliche Nebenrolle geht an die Cassini-Gleichung.
35. Wo steckst du, o Loch?
    Ein möglicher Koan zum Thema dieser Miniatur ist eine Frage, die schon Bertolt Brecht sich stellte: Was wird eigentlich aus dem Loch, wenn der Käse alle ist?
    Unser Ausgangspunkt ist ein Puzzle aus vier Teilen mit Tücken. Es soll der Publikumsverwirrung dienen. Die vier Teile sind auf zwei verschiedene Arten zu Dreiecken konfiguriert. Das obere Dreieck ist mit einem Loch verziert. Das untere Dreieck ist ungelocht. Beide bestehen aus denselben vier Flächenstücken.

    Abbildung 35: Dreieck und Dreieck: Gelocht und ungelocht
    Die vier Flächenstücke wurden also nur verschoben. Ihre Gesamtfläche bleibt unverändert. Doch was wurde aus dem Loch? Eine Frage für die Leser zum Lösen.
    Nach kurzer Bedenkminute nun zur Aufklärung dieses vermeintlichen Paradoxons. Bei der Inspektion der Figuren stellt sich die Vermutung ein, dass es sich bei beiden nicht um exakte Dreiecke handelt, selbst wenn wir bei der ersten Figur großzügig das Loch ausfüllen. Es handelt sich vielmehr um zwei leicht verschiedene Vierecke. Um das damit Gemeinte deutlicher zu verarbeiten, überzeichnen wir die Abweichungen von der Dreiecksform ein wenig:

    Abbildung 36: Größeres und kleineres Viereck
    Das obere Viereck ist dabei geringfügig größer als das untere Viereck. Beide zusammengenommen und in einem einzigen Diagramm abgebildet, belegen die Existenz eines schmalen lang gezogenen Zwischenbereichs, welcher der Fläche eines Kästchens, des Lochs, entsprechen muss.

    Abbildung 37: Überlagerte Vierecke nebst Zwischenbereich
    Obwohl wir jetzt verstehen, wo sich das Loch versteckt hat, behält das Puzzle seine Faszination. Es impliziert eine krasse Flächenveränderung. Ein handliches kleines Quadrat wird in etwas lang gezogenes Spitzes verwandelt. Fortgeschrittene können versuchen, wieder den Zusammenhang mit Fibonacci-Zahlen herzustellen, denn letztlich ist auch diese Dreiecksbeziehung zum Loch ein Fibonacci-Quickie.
36. Made by Mathematics: Münzwurfentscheid übers Telefon
    Tom und Jerry wollen am Telefon per Münzwurf ein Entscheidungsdilemma auflösen: Gehen wir heute Abend ins Kino oder ins Theater? Einer soll eine Münze werfen. Doch wie kann der andere sicherstellen, dass der Münzwerfer nicht schummelt? «Honesty is best policy, I try both ways», könnte die Einstellung des Münzwerfers sein. Kann man, kurz gefragt, einen fairen Münzwurf übers Telefon ohne Hilfestellung einer dritten Person organisieren?
    Unmöglich? Wer das denkt, unterschätzt die bis in die Neuzeit durchprobte Fähigkeit der Mathematik, das unmöglich Erscheinende möglich zu machen. Mathematik ist, wenn man trotzdem kann. Und die Mathematik hat hier tatsächlich eine Lösung parat. Tom und Jerry müssen folgendes Verfahren verabreden.
    Tom wirft die Münze. Bei Kopf wird Tom 2 von ihm geheim gewählte Primzahlen mit jeweils ungefähr 90 Stellen multiplizieren. Bei Zahl soll er entsprechend 3 Primzahlen mit jeweils ungefähr 60 Stellen multiplizieren. (Falls er sich nicht daran hält und es umgekehrt macht, kommt das später raus.) Dann teilt Tom dem Jerry nur das Endergebnis seiner Multiplikation mit, in beiden Fällen ist es eine etwa 180-stellige Zahl. Jerry versucht den Ausgang von Toms Münzwurf zu erraten und sagt nun entweder Kopf oder Zahl. Tom verkündet, was es wirklich war. Dann erhält Jerry von Tom die ursprünglichen (entweder 2 oder 3) Primzahlen zur Kontrolle des Münzwurfes. Er muss dazu nur die erhaltenen Zahlen multiplizieren und prüfen, ob Tom ihm vorher