Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

geht das aufgrund des obigen Satzes nicht. Verschränke ich jedoch zunächst die Arme, mache mir also gleichsam zuerst einen Knoten in die Arme, und nehme dann derart verknotet die Seilenden auf, dann wird der Knoten, den ich mir in die Arme fabriziert habe, ins Seil transportiert, und wir haben den gewünschten Knoten im Seil.
Knotentheorie und -praxis
Übernommen hatte sich Janos, der sensationelle Schlangenmensch, während einer Abendvorstellung des Zirkus Roberts im August 1978 in New York. Janos verknotete seine Gliedmaßen mit solch genialer Kunstfertigkeit, dass es ihm nicht mehr gelang, sie zu entwirren. Der Zirkusdirektion blieb nichts anderes übrig, als das Menschenbündel per Lieferwagen ins Hospital zu transportieren. Die Ärzte brauchten über eine Stunde, bis sie den Artistenleib entflochten und geordnet hatten.
Alexander Tropf: Niederlagen, die das Leben selber schrieb
34. Surrogate des Staunens: Ein Zerlegungswunder
    Wir beginnen etwas handgreiflich mit einer Fläche und deren Zerschneidung.

    Abbildung 31: Zerlegung eines 8×8-Quadrates in 4 Teile
    Sie sehen hier ein Quadrat der Seitenlänge 8, das aus 64 kleinen quadratischen Kästchen besteht. Dieses Quadrat zerlegen wir, indem es entlang der fett eingezeichneten Linien in 4 Teile geschnitten wird. Die 4 Teile setzen wir dann zu einem Rechteck der Maße 5×13 Kästchen zusammen.

    Abbildung 32: Anordnung der 4 Quadrat-Teile zu einem 5x13-Rechteck
    Die Flächenstücke bilden zusammengelegt zwei verschiedene Flächen derselben Größe. Also haben wir experimentell bewiesen, dass dass 8 · 8 = 5 · 13, also 64 = 65 ist. Wie bitte? Das ist natürlich falsch – aber wo steckt der Fehler?
    Ich hoffe, dass Sie erst dann zur Lektüre der Antwort übergehen, nachdem Sie eine Weile über die Frage nachgedacht haben. Die Antwort lautet: Zeichenungenauigkeiten erzeugen diesen Trugschluss. Im Rechteck der Abbildung 32 liegen die beiden «Dreiländerecke» nicht exakt auf der Diagonalen des Rechtecks. Die einfachste Möglichkeit, dies einzusehen, besteht in einem Vergleich der Steigungen der relevanten geometrischen Objekte.
Dreieckshypotenuse: 3/8 = 0,375
Trapezseite: 2/5 = 0,4
Rechtecksdiagonale: 5/13 = 0,3846
    Mit höherer Auflösung und etwas überpointiert gezeichnet ist die vorliegende Situation also wie folgt zu sehen:

    Abbildung 33: Anordnung der 4 Quadratteile, höhere Auflösung
    Ein extrem lang gezogenes Parallelogramm, das den Flächeninhalt genau eines Kästchens hat und bei etwas dickerem Strich innerhalb der Zeichenungenauigkeit verschwindet, ist für die Flächendifferenz verantwortlich.
    Das Spiel lässt sich noch beliebig fortsetzen, beispielsweise mit einem 13×13-Quadrat, das sich nach der Zerlegung von Diagramm 34 zu einem 8×21-Rechteck rekombinieren lässt. Scheinbar ein experimenteller Beweis für die Gleichung 169 = 13 · 13 = 8 · 21 = 168.
    In diesem Fall ist das aus den Quadratstücken entstehende Rechteck um eine Flächeneinheit kleiner als das Quadrat.

    Abbildung 34: Zerlegung von 13×13-Quadrat und Umordnung zum 8x21-Rechteck
    Was ist hier los? Es ist etwas da, was es zu verstehen gilt, irgendein Effekt, der das Phänomen hervorruft.
    Zunächst fällt auf, dass es sich bei allen auftretenden Zahlen um ganz besondere Zahlen handelt: 5, 8, 13, 21. Dies ist ein Anfangsstück der Folge der Fibonacci-Zahlen F n . Diese Folge ist dadurch charakterisiert, das man beginnend mit F 0 = 0 und F 1 = 1 die nächste Zahl der Folge durch Addition der beiden vorhergehenden Folgenglieder erhält: In Kurzschrift bedeutet das: F n+1 = F n + F n-1 . Mit dieser Bauanleitung ergibt sich der Anfang der Folge als 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Neben der definierenden Gleichung gilt für je 3 aufeinanderfolgende Zahlen der Folge immer auch die kompliziertere Gleichung

    Diese wertvolle Beziehung heißt Cassini-Gleichung. Man prüft sie leicht mit dem Prinzip vollständige Induktion. Wir wollen das kurz durchführen. Die Gleichung (3) ist gültig für n= 1, wegen
    F2 · F0 – F1 · F1 = 0 – 1 = (–1) 1 .
    Das ist der Induktionsanfang.
    Nun der Induktionsschluss: Angenommen, die zu beweisende Gleichung gilt für eine beliebige natürliche Zahl n. Dann richten wir unser Vorgehen an der Möglichkeit aus, für F n–1 in der Gleichung (3) die Differenz F n+1 – F n einzusetzen, die sich aus der definierenden Fibonacci-Gleichung ergibt. Wir erhalten die Aussage
    F n+1 · F n+1 – F n · (F n+1 + F n ) = (–1) n ,
    die nach