Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

und zwar bei der Benotung von knapp 300.000 Schülern. Mit mehr als 100.000 Dollar schlug allein schon die Benachrichtigung der Betroffenen zu Buche.
65. Kleines Denk-Mal, Version Nicht-08/15
    Was ist der Unterschied zwischen sechs Dutzend Dutzend und einem halben Dutzend Dutzend?
    Sollten Sie «Kein Unterschied» gesagt haben, so liegen Sie falsch.
66. Ein Männlein steht im Walde
    Herr K hat sich im Wald verirrt. Er weiß nur, dass er sich 1 km vom Rand eines riesigen Waldgebietes entfernt befindet, dessen Berandung eine Gerade ist. Ansonsten ist er völlig desorientiert und ist sich Sorgen am Machen, wie man dort sagt, wo ich herkomme. Er weiß nicht, in welcher Richtung sich der Rand und damit der Ausgang aus dem Wald befindet. Gibt es mit diesem geringen Wissen ausgestattet eine Möglichkeit, das Waldgebiet zu verlassen, also den Rand zwingend zu erreichen?
    Und kann es unter den gegebenen minimalistischen Rahmenbedingungen gelingen, eine Auskunft über optimales Verhalten zu erlangen?

    Abbildung 44: Herrn Ks Position im Wald
    Die Antwort in beiden Fällen ist Ja, und wir schreiten in mehreren großen Schritten voran. Jedes Problemlösen ist ein Duell eines Denkers mit einer Schwierigkeit. Herr K legt sich für die beschriebene Schwierigkeit zunächst diese Strategie zurecht: Er will 1 km in eine beliebige Richtung gehen, dann im rechten Winkel nach rechts abzweigend nochmals 1 km gehen. Anschließend will er wiederum im rechten Winkel nach rechts abbiegen und dann 2 km gehen, eine Rechtskurve im Winkel von 90° ausführen, nochmals 2 km gehen, nochmals rechtwinklig nach rechts abbiegen und abermals 2 km gehen. Dieser Pfad sieht so aus.

    Abbildung 45: Erste Strategie
    Herr K ist erleichtert, denn er hat sich überlegt, dass ihn diese Vorgehensweise mit Sicherheit an die Berandung des Waldgebietes führt. Damit wird seiner Bedrängnis immerhin der Grund entzogen. Der skizzierte Pfad hat eine Länge von 8 km. Im allerungünstigsten Fall muss Herr K den gesamten Pfad ablaufen, bevor er den Rand erreicht. Er kann aber sicher sein, dass diese Strategie ihn aus dem Wald herausbringt.

    Abbildung 46: Grenzfall des längsten zurückzulegenden Weges bei Wahl der ersten Strategie
    Herr K verfeinert nun seine Überlegungen in der Hoffnung, die maximal zurückzulegende Wegstrecke zu reduzieren. Bei Inspektion des Weges in Diagramm 46 stellt sich die Idee ein, die Ecken nicht voll auszulaufen, sondern – nachdem man 1 km in eine beliebige Richtung gegangen ist – sich auf einer Kreisbahn um K mit Radius 1 km zu bewegen.

    Abbildung 47: Grenzfall des längsten zurückzulegenden Weges bei Wahl der zweiten Strategie
    Auch dieser Pfad erreicht früher oder später mit Sicherheit den Rand des Waldgebietes. Er hat im ungünstigsten Fall aber die geringere Länge von 1 + 2 π7,28 km.
    Schaut man sich in Diagramm 47 die Gerade als Rand des Waldgebiets an, so fällt auf, dass bei dieser Routenführung die Gerade genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat. Solche Geraden, die einen Kreis genau in einem Punkt schneiden, heißen Tangenten des Kreises. Der Rand des Waldgebietes ist also irgendeine der unendlich vielen Tangenten an den Kreis um K mit Radius 1 km. Deshalb können wir Herrn Ks Optimierungsbemühungen auch so ausdrücken: Er muss den kürzesten Weg finden, der in K beginnt und einen gemeinsamen Punkt mit jeder Tangente an den Kreis um K mit Radius 1 km besitzt. Gelingt ihm dies, so hat er sich optimal verhalten und damit den schnellsten Weg ermittelt, der ihn mit Sicherheit aus dem Waldgebiet herausführt.
    Kann man vor diesem Hintergrund gegenüber der Kreisstrategie von Diagramm 47 noch Verbesserungen erreichen? Eine naheliegende Frage geht speziell in diese Richtung: Muss man wirklich die gesamte Kreislinie ablaufen? Diagramm 48 erlaubt uns die Schlussfolgerung, dass dies nicht notwendig ist.

    Abbildung 48: Dritte Strategie
    Auch der Weg von K nach A, anschließend um beinahe den gesamten Kreisbogen herum nach B und geradeaus weiter nach C hat einen gemeinsamen Punkt mit jeder Tangente an den Kreis und führt Herrn K aus dem Wald heraus. Seine Länge aber beträgt nur

    da er nur 3/4 des gesamten Kreisumfanges von 2 umfasst.
    Dieser neue Weg hat durch geschickte Modifikation eine Ersparnis am Ende der Route erzielt. Können wir eine analoge Ersparnis am Anfang erreichen? Eindeutig Ja!

    Abbildung 49: Vierte Strategie
    Auch der Pfad KABCD in Diagramm 49 besitzt noch einen gemeinsamen Punkt mit jeder