Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

einer günstigen Gesamtszenerie beschäftigt sich mit dem Duellieren. Ein Duell, hier in einem spielerisch-allgemeinen Sinn aufgefasst, ist eine kontrollierteMassenkonfrontation, bei der n Schützen sich gegenseitig zu eliminieren suchen, bis nur noch einer übrig bleibt. Das Format des Duells sei folgendermaßen festgelegt: Für zum Beispiel n = 3 Duellanten wird zunächst die Reihenfolge 1, 2, 3 ausgelost, dann wird in der Abfolge 1, 2, 3, 1, 2, 3, … geschossen. Getroffene Duellanten werden übersprungen und jeder Schütze kann sein Ziel frei wählen.
    Angenommen, Herr K ist kein guter Schütze. Er trifft sein gewähltes Ziel nur mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Außer ihm sind da noch Herr K 1 , der ein unfehlbarer Schütze ist und mit Wahrscheinlichkeit 1 trifft, und Herr K 4/5 , der mit seiner Trefferwahrscheinlichkeit von 4/5 ebenfalls Herrn K weit überlegen ist. Diese drei Herren tragen ein Duell aus.
    Als Einstieg in die kompliziertere Analyse der Kampfhandlungen zu dritt untersuchen wir ein Zweier-Duell zwischen Herrn K und Herrn K 1 . Herr K überlebt nur dann, wenn er den ersten Schuss hat und zusätzlich noch bei diesem Schuss erfolgreich ist. Für beide Ereignisse ist unabhängig voneinander die Wahrscheinlichkeit 1/2 zu verbuchen. Mithin ist die Chance, dass Herr K bei diesem Duell überlebt, gleich 1/4. Keine guten Aussichten für unseren Protagonisten.
    Im nächsten Schritt ermitteln wir die Überlebenschancen von Herrn K bei einem Duell mit Herrn K 4/5 . Als Hilfsmittel konstruieren wir das folgende Ablaufdiagramm, bei dem in den kleinen Kreisen steht, welcher der Herren aktuell am Drücker ist.

    Abbildung 39: Ablaufdiagramm für die Analyse des Duells von K gegen K 4/5
    Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse sind in diesem Diagramm entlang der Pfade enthalten. Wahrscheinlichkeitenvon kombinierten Ereignissen ergeben sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang der zugehörigen Pfade. Das ist die Pfadregel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
    Zur Analyse setzen wir diese Pfadregel ein, und zwar für die so definierten Ereignisse:
    B 0 = Herr K zuerst am Schuss, und er gewinnt mit diesem Schuss.
    B 1 = Herr K zuerst am Schuss, dann K 4/5 , dann K, und er gewinnt mit diesem Schuss.
    Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B 0 ist

    die von Ereignis B 1 , bei dem die Schleife im Diagramm 39 zwischen den Zuständen K und K 4/5 genau einmal durchlaufen wird, ist

    Die Folge obiger Ereignisse lässt sich leicht erweitern. Bei Ereignis B i werde die Schleife zwischen den Zuständen K und K 4/5 genau i-mal durchlaufen. Die Ereignisse B i für verschiedene i unterscheiden sich voneinander und ihre Vereinigung für alle i = 0, 1, 2, … entspricht dem Ereignis, dass Herr K den ersten Schuss hat
und
das Duell letztendlich gewinnt. Auch kann die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B i leicht ermittelt werden. Sie ist gegeben durch

    Demnach haben wir eine nützliche Teilinformation gewonnen:
    P (Herr K schießt zuerst und gewinnt schließlich)
    = P (Herr K schießt zuerst und gewinnt mit seinem ersten Schuss)
+ P (Herr K schießt zuerst und gewinnt mit seinem zweiten Schuss)

    Das ist unser erstes Zwischenstadium.
    Die zweite Gruppe von Möglichkeiten, die zum Überleben von Herrn K im Duell mit K 4/5 führt, wird gebildet von den Ereignissen
    C 0 = Herr K 4/5 zuerst am Schuss, dann K, und K gewinnt mit diesem Schuss.
    C 1 = Herr K 4/5 zuerst am Schuss, dann K, dann K 4/5 , dann K, und K gewinnt mit diesem Schuss.
    Beim Ereignis C 1 wird also die Schleife zwischen den Kreisen K 4/5 und K in Abbildung 39 genau 1-mal durchlaufen. In Verallgemeinerung werde beim Ereignis C i die Schleife zwischen K 4/5 und K genau i-mal vollständig durchlaufen.
    Es ist offensichtlich

    und für den allgemeinen Fall mit i Schleifendurchläufen ebenso offensichtlich

    Analog zum vorhergehenden Verlauf liefert nun die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit P (Herr K 4/5 schießt zuerst, aber K gewinnt irgendwann) als
P
(
C
0 ) +
P
(
C
1 ) +
P
(
C
2 ) + …
    Nach dem Gesagten ist diese Wahrscheinlichkeit

    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass Herr K im Duell mit Herrn K 4/5 letztlich siegreich bleibt, ist die Summe der beiden errechneten Wahrscheinlichkeiten 5/18 und 1/18. Herr K gewinnt das Duell also mit einer Wahrscheinlichkeit von

    Wir ziehen ein kurzes Zwischenfazit: In beiden Duellen, sowohl gegen K 1 als auch gegen K 4/5 , hat Herr K als schlechtester Schütze erwartungsgemäß die