Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

geringsten Überlebenschancen. Bei Weitem! Und wenn er die Duelle nacheinander ausfechten muss, dann ist seine Überlebenschance sogar nur

    Das sind 8,5 Prozent.
    Triell statt Duell
. Nun wird aus dem Duo ein Trio. Betrachten wir die Kombination dieser beiden Duelle, also das Duell aller 3 Personen gleichzeitig nach dem eingangs beschriebenen Format für diesen Dreikampf. Auch hier rechnet man Herrn K keine großen Chancen aus. Es könnte sogar sein, dass seine Trefferschwäche hier noch prononcierter zum Ausdruck kommt. Doch weit gefehlt. Phantastischerweise ist es jetzt gerade unser Herr K, der mit Abstand schlechteste Schütze unter den Teilnehmern, der nun die besten Überlebenschancen hat!!
    Ich sehe Sie ungläubig staunen. Aber es ist wirklich so. Damit das so ist, muss sich Herr K natürlich optimal verhalten. Dann sind selbst bei ebenfalls optimalem Verhalten der anderen beiden Herren seine Chancen am besten.
    Was aber bedeutet optimales Verhalten?
    Optimales Verhalten bedeutet für Herrn K, dass er alles daransetzen muss, selbst am Schuss zu sein, bevor auf ihn geschossen wird. Aber wie kann er das durchsetzen? Seine Überlebenschance hängt am seidenen Faden dieser Frage. Zum Glück ist die Antwort ganz einfach! Gemäß dieser Einsicht wird Herr K, solange K 1 und K 4/5 beide noch aktiv sind, stets in die Luft feuern, um keinen seiner Gegner zu treffen.
    Ja, Sie haben richtig gehört. Denn schösse er auf einen der Herren und träfe, so wäre sein anderer Kontrahent als Nächstes mit einem Schuss auf Herrn K an der Reihe. Schießt Herr K aber in die Luft – und spielt damit vorerst keine Rolle –, werden K 1 und K 4/5 natürlich, da auch sie sich ja für ihre eigenen Zwecke optimal verhalten, immer wechselseitig aufeinander schießen und nicht auf Herrn K. Sie werden also unter sich ein privates Zweier-Duell austragen, bis einer von beiden eliminiert ist. Danach kommt es zu einem Duell zwischen Herrn K und dem Überlebenden des internen Duells zwischen K 1 und K 4/5 , bei dem Herr K – und das ist der Lohn seiner schlauen Strategie – den ersten Schuss abgeben darf. Auch dieses komplizierte Wechselspiel kann man übersichtlich anhand eines Ablaufdiagramms studieren.

    Abbildung 40: Ablaufdiagramm für die Analyse des Triells zwischen K, K 1 und K 4/5
    Die Wahrscheinlichkeit, dass der beste Schütze K 1 überlebt, ist am einfachsten zu ermitteln. Es ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse
    D 0 = K 1 schießt zuerst, dann K, dann K 1 , und er gewinnt mit diesem Schuss.
    D 1 = K 4/5 schießt zuerst, dann K 1 , dann K, dann K 1 , und er gewinnt mit diesem Schuss.
    Der als unfehlbarer Schütze intuitiv hohe Favorit K 1 besitzt als Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten

    die überraschend geringe Überlebenswahrscheinlichkeit von nur 30 %. Damit ist jetzt schon klar, dass mindestens einer der beiden schwächeren Schützen eine größere Siegchance als K 1 haben wird. Und das Paradoxon ist schon da.
    Zur genauen Berechnung der Überlebenswahrscheinlichkeit von K 4/5 definieren wir die Ereignisse
    E 0 = K 4/5 schießt zuerst, dann K, dann K 4/5 , und er gewinnt mit diesem Schuss.
    E 1 = K 4/5 schießt zuerst, dann K, dann K 4/5 , dann K, dann K 4/5 , und er gewinnt mit diesem Schuss.
    Allgemeiner sei E i das Ereignis mit genau i vollständigen Durchläufen durch die Schleife zwischen K und K 4/5 in Abbildung 40.
    Mit der Pfadregel verschaffen wir uns die Wahrscheinlichkeiten

    Die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten
P
(
E i ) für i = 0, 1, 2, … ist die Überlebenswahrscheinlichkeit P
(
K 4/5 überlebt
), nämlich

    Der Schütze K 4/5 hat damit geringere Überlebenschancen als K 1 . Zwar war das zu erwarten, da er der schlechtere der beiden Schützen ist, doch wir haben schon viele Überraschungen erlebt.
    Hier angekommen, erhalten wir die Überlebenswahrscheinlichkeit von Herrn K durch einfache Differenzbildung, da ja die Summe aller Überlebenswahrscheinlichkeiten der Schützen gleich 1 sein muss:
    P
(
K
4/5
überlebt
) = 1 –
P
(
K
1
überlebt
) –
P
(K
4
/5
überlebt
)

    Die Achse des Guten.
Herrn K ist es gelungen, die Überlebenswahrscheinlichkeit seiner Konkurrenten auf 18 % und 30 % zu drücken und seine eigene Überlebenswahrscheinlichkeit auf über 50 % anzuheben. Das ist mehr als seine Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Schuss. Auch hier ist eine paradoxe wahrscheinlichkeitstheoretische Gewinnsituation aus zwei Verlustsituationen entstanden – den