Comment le jeune et ambitieux Einstein s'est approprié la Relativité restreinte de Poincaré

rotations ?
Si l’on compose deux rotations, c’est-à-dire si l’on effectue successivement deux
rotations, la rotation résultante appartient bien au même ensemble. On dit qu’il
existe une loi de composition entre les éléments du groupe. De manière
générale, la composition de deux éléments d’un ensemble doit redonner un autre
élément de cet ensemble pour qu’il constitue un groupe. De plus, cette loi de
composition doit obéir à certains postulats.
    Chaque groupe doit avoir un élément neutre, c’est-à-dire un
élément qui, composé avec un autre élément du groupe, redonne ce dernier. Dans
l’exemple précédent des rotations planes, la rotation d’un angle nul est l’élément
neutre. Chaque élément du groupe doit avoir un inverse ; ce dernier est
tel que si on compose un élément avec son inverse, on obtient l’élément neutre.
Ainsi l’inverse d’une rotation plane d’un certain angle est la rotation en sens
inverse d’un même angle. Enfin, la composition des éléments du groupe doit être
associative, c’est-à-dire qu’on peut faire des compositions successives d’éléments
en les regroupant différemment entre elles dans le même ordre.
    Poincaré démontre que les transformations de
Lorentz-Poincaré forment précisément un groupe. Celui-ci comporte une infinité
de transformations, chacune étant caractérisée par une valeur de la vitesse de
translation d’un référentiel. Les rotations dans l’espace constituent également
un autre groupe, appelé groupe des rotations tridimensionnelles. L’ensemble de
ces deux groupes, auxquels on adjoint le groupe des translations dans l’espace,
constituent ce qu’on appelle actuellement le groupe de Poincaré, « sur
lequel est fondé la théorie de la Relativité » ainsi que le rappelle André
Lichnerowicz (1915-1997) dans une conférence [Li1] faite lors du Congrès international
de 1994 consacré aux travaux de Poincaré.
    Ainsi que nous le verrons par la suite, cette notion de
groupe est à la base de la démonstration moderne [H14] de la transformation de
Lorentz-Poincaré, démonstration plus fondamentale car elle ne fait pas appel au
phénomène particulier qu’est l’électromagnétisme. Mais c’est Poincaré qui à ouvert
cette voie originale de recherche en mettant l’accent sur la structure de
groupe.
    L’utilisation de la notion de groupe est devenue
actuellement très importante dans diverses disciplines scientifiques. C’est le
cas en mécanique quantique [H15]. Plus récemment, la physique des particules
élémentaires a largement bénéficié de la théorie des groupes.
    Poincaré découvre un invariant fondamental de l’espace-temps
    À partir des propriétés des groupes, Poincaré démontre qu’il
existe une quantité invariante sous l’action d’une transformation de
Lorentz-Poincaré, quantité qu’il écrit sous la forme suivante :
    x 2 + y 2 + z 2 – t 2 [formule 7]
     
    expression où la vitesse de la lumière est toujours prise
égale à l’unité.
    La racine carrée de cette quantité est actuellement appelée intervalle entre deux événements qui ont lieu respectivement à l’origine d’un
référentiel, au temps t = 0, et en un point quelconque de coordonnées x,
y, z, au temps t. C’est le premier invariant de la Relativité
restreinte démontré par Poincaré. Cette notion d’intervalle se généralise
évidemment pour des événements quelconques.
     
    La création de l’espace-temps par Poincaré
    C’est dans l’application de la transformation de
Lorentz-Poincaré aux lois de la gravitation que Poincaré [Po3] introduit et
utilise un espace à quatre dimensions que Minkowski popularisera trois années
plus tard sous le nom d’espace-temps.
    Poincaré crée très simplement cet espace en introduisant
quatre coordonnées x, y, z, it, où x, y, z sont les coordonnées
classiques de l’espace physique, t est le temps et i le nombre
imaginaire racine carrée de -1.
    Pour Poincaré la création d’un espace à quatre dimensions ne
pose évidemment pas de problème, lui qui étudie les propriétés mathématiques
des espaces à un nombre quelconque de dimensions. Il vient, par exemple, de
publier le 16 janvier 1905 [Po8] un théorème généralisant aux espaces à n dimensions
celui qui concerne la somme des angles d’un triangle tracé sur un plan ou une
surface sphérique.
    Revenons à l’espace à quatre dimensions ; Poincaré [Po3]
en déduit que :
    Nous