Das lebendige Theorem (German Edition)

Stunden jämmerlicher Verwirrung bin ich überzeugt, den Grund gefunden zu haben, der das O(t) auslöscht, worüber ich mich heute am Telefon beklagt habe. Das ist UNGEHEUERLICH!

Offenbar liegt es nicht an den bilinearen Schätzungen und auch nicht am Moser-Schema, sondern liegt auf der Ebene der »de Gronwall«-Gleichung, wo man \rho durch sich selbst abschätzt … Der Punkt ist, dass wir so etwas haben wie

u(t) \leq source + \int_0^t a(s,t) u(s) ds,

wobei u(t) eine Schranke für \|\rho(t) | ist. Wenn \int_0^t a(s,t) ds = O(1), geht alles gut. Das Problem ist, dass \int_0^t a(s,t) ds anscheinend gleich O(t) sein kann (wirklich kein Hindernis, ich habe die bestmöglichen Fälle genommen, und das kann immer herauskommen). Aber wenn es auftritt, ist es an einem Punkt, der strikt im Inneren von [0,t] liegt, ungefähr zur Mitte hin (das entspricht dem Fall, wo wir k und \ell haben mit 0 = (k+ \ell)/2); oder bei 2/3, falls wir 0 = (2/3)k + \ell/3 hätten, usw. Aber dann ähnelt die Rekursionsgleichung auf u(s)

u(t) \leq source + epsilon t u(t/2),

und die Lösungen dieses Dings sind nicht von vornherein beschränkt, sondern wachsen langsam an (subexponentiell)! Da aber die Norm auf \rho einen exponentiellen Abfall beinhaltet, erhalten wir am Ende eben diese Abnahme .........

Diese Sache in eine angemessene Form zu bringen scheint ein bisschen grässlich zu sein (im Prinzip muss man die Resonanzen erfassen). Das wird meine Arbeit für morgen sein. Jedenfalls stellt all das nicht das Programm zur Überprüfung der Eigenschaften der bihybriden Normen in Frage.
Herzliche Grüße
Cedric

Date: Wed, 21 Jan 2009 9:25:21 +0100
From: Clement Mouhot
To: Cedric Villani
Subject: Re: !!
Das sieht wirklich grässlich aus! Ich habe mir meinerseits den Nash-Moser-Teil angeschaut und bin auch der Meinung, dass es wenig wahrscheinlich ist, dass man den Faktor t darin absorbieren kann … Wenn ich dagegen das Argument der Schranke für u(t) richtig verstehe, muss der Punkt s, wo a(s,t) groß ist, gleichmäßig in einem strikt positiven Abstand von t bleiben … Eine andere Sache ist, dass wir beim Lösungswert des nichtlinearen Problems also eine subexponentielle Schranke in der Zeit hätten. Und um ihn durch die Norm auf \rho verschwinden zu lassen, müsste man akzeptieren, dass man ein bisschen bei seinem Index verliert, was man meiner Meinung nach im Nash-Moser-Teil unbedingt vermeiden muss …?
herzlich, clement

Kapitel 14
    Princeton, 28. Januar 2009
    Dunkel! Ich brauche Dunkelheit, ich muss alleine im Dunkeln bleiben. Das Kinderzimmer, die Fensterläden geschlossen, sehr gut. Die Regularisierung. Das Newton-Schema. Die exponentiellen Konstanten. Alles dreht sich in meinem Kopf.
    Unmittelbar nachdem ich die Kinder nach Hause gebracht hatte, habe ich mich in ihr Zimmer zurückgezogen, um weiter meine Gedanken zu wälzen. Morgen ist mein Vortrag in Rutgers, und der Beweis funktioniert immer noch nicht. Ich muss alleine umhergehen, um darüber nachzudenken. Es ist Eile geboten !
    Claire hat schon anderes eingesteckt, ohne zu murren; doch dass ich im Kreis herumgehe, allein in einem dunklen Zimmer, während sie das Essen zubereitet, das ist doch etwas zu viel.
    – Das ist doch sehr eigenartig!!
    Ich habe nicht geantwortet, alle meine geistigen Kanäle waren von mathematischen Überlegungen und dem Gefühl der Dringlichkeit gesättigt. Dennoch bin ich mit dem Rest der Familie essen gegangen und habe dann den ganzen Abend gearbeitet. Eine bestimmte Rechnung, auf die ich fest zählte, funktioniert nicht mehr, ich muss mich geirrt haben. Schlimm oder nicht schlimm?
    Gegen zwei Uhr morgens höre ich auf, ich habe den Eindruck, dass schließlich alles gut laufen wird.
    *
Date: Thu, 29 Jan 2009 02:00:55 –0500
From: Cedric Villani
To: Clement Mouhot
Subject: global-10
!!!! Ich glaube, jetzt haben wir die fehlenden Enden.

– Zunächst habe ich schließlich herausgefunden (Irrtum vorbehalten), wie man es anstellt, um ein beliebig kleines Epsilon loszuwerden (auf die Gefahr hin, dass man eine sehr große Konstante verliert, die exponentiell oder quadratexponentiell in 1/epsilon ist). Das ergibt sich aus einer völlig teuflischen Rechnung, die ich im Augenblick am Ende von Abschnitt 6 nur eben mal skizziert habe. Sie erscheint wie ein vollkommenes Wunder, aber sie passt haargenau, wie es sein soll, das