Das neue Haus vom Nikolaus

333 durch 99 teilbar ist, ist die Differenz zwischen irgendeiner Zahl und 333   333   333   333   333   333 genau dann durch 99 teilbar, wenn die Zahl auch selbst durch 99 teilbar ist. Wenn wir also von jeder ausgewürfelten Zahl 333   333   333   333   333   333 subtrahieren, dann ist dies äquivalent damit, dass wir zufällige Zahlen der Länge 19 bilden, die jeweilsmit der Ziffer Eins beginnen, gefolgt von einer zufälligen Reihe von Nullen und Einsen. Untersuchen wir also diese Zahlen auf ihre Teilbarkeit durch 99.   Damit eine Zahl durch 99 teilbar ist, muss sie sowohl durch neun als auch durch 11 teilbar sein. Eine Zahl ist dann und nur dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch neun teilbar ist. Bei unserem speziellen Typus von Zahlen, bei denen nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen, ist die Quersumme gleich der Häufigkeit, mit der die Ziffer 1 in der Zahl vorkommt. Damit sind nur jene Zahlen durch 9 teilbar, die entweder genau 9-mal oder genau 1 8-mal die Ziffer 1 enthalten. Es gibt zwar recht viele solcher Zahlen, die genau 9-mal die Ziffer 1 enthalten, doch können diese nicht durch 11 teilbar sein, denn eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme ein Vielfaches von 11 ist. Unter alternierender Quersumme versteht man die Summe der Ziffern auf den ungeraden Positionen abzüglich der Summe der Ziffern auf den geraden Stellenpositionen. Die alternierende Quersumme einer Zahl, die 9-mal die Ziffer 1 und sonst nur Nullen enthält, ist aber auf jeden Fall kleiner als 11 und ungleich null, weil 9 ungerade ist. Damit ist die alternierende Quersumme auf keinen Fall ein Vielfaches von 11, und damit ist die Zahl selbst auch nicht durch 11 teilbar. Als Zahlen, die sowohl durch 9 als auch durch 11 teilbar sind, kommen also nur noch jene in Betracht, die genau 1 8-mal die Ziffer 1 und 1-mal die Ziffer 0 enthalten. Und von diesen sind zwar alle durch 9, aber nicht alle durch 11 teilbar. Nur jene sind durch 11 teilbar, bei denen die alternierende Quersumme null ergibt, bei denen also genauso viele Einsen an geradzahligen Ziffernpositionen wie an ungeradzahligen Ziffernpositionen stehen. Die erste Ziffer haben wir mit der Ziffer 1 vorbesetzt. Es verbleiben uns also 17 weitere Einsen und 18   Stellen, wo wir diese 17   Einsen unterbringen können. Damit wir jeweils 9   Einsen auf geradzahligen und die gleiche Anzahl Einsen auch auf ungeradzahligen Ziffernpositionen haben, müssenwir mit 9 der 17 verbliebenen Einsen sämtliche geradzahligen Ziffernpositionen besetzen, mit den restlichen 8   Einsen können wir beliebige 8 der noch verbliebenen 9 freien ungeradzahligen Ziffernpositionen belegen. Oder anders formuliert: Von den restlichen neun ungeradzahligen Ziffernpositionen können wir uns eine beliebige aussuchen, die nicht mit Eins sondern mit Null belegt wird. Damit gibt es insgesamt nur 9   Zahlen des angegebenen Typus, welche durch 99 teilbar sind. Demgegenüber stehen 2 18 = 262   144 Zahlen dieses Typus insgesamt. Diese 2 18 kommt so zustande, dass wir die erste Ziffer als eine Eins vorgegeben haben, aber wir für jede der restlichen 18   Ziffern unabhängig voneinander zwei Möglichkeiten haben, wie die Ziffer jeweils lautet. Damit müsste der Einsatz von Professor Evilowski

    also etwa 2   912   711   Euro und 11   Cent betragen, damit das Spiel insgesamt fair wäre. Allerdings hat Professor Evilowski nicht gelogen. Das Spiel war erstens wirklich nicht fair, und zweitens kann Professor Goodman tatsächlich mit mehr als 50   % Wahrscheinlichkeit viel Geld gewinnen. Wenn er 200   000   Euro als Gewinn avisiert, stehen seine Chancen recht gut. Wir nehmen an, dass Professor Goodman nicht endlos spielt, bis er endlich 200   000   Euro Gewinn einstreichen kann, sondern dass er spätestens, wenn er 2   300   000   Euro verloren hat oder die 2   500   000   Euro gewonnen hat, je nachdem, welcher Fall zuerst eintritt, aufhört und aufgibt, um seinen Verlust in Grenzen zu halten oder seinen Gewinn ins Trockene zu bringen. Doch wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Goodman tatsächlich 2   300   000   Euro verliert? Da er bei jedem Spiel, das er verliert , 100   Euro einbüßt, muss er 23   00 0-mal hintereinander in Folge verlieren, damit er nicht mit einem Mindestgewinn von 200   000   Euro nach Hause gehen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass er ein beliebiges Spiel gewinnt, beträgt

    die Wahrscheinlichkeit, dass er es verliert,