Das neue Haus vom Nikolaus

Bürgermeister, die Gildemeister und Ratsherren bekommen eine bessere Mischung, die übliche Stammkundschaft bekommt eine Mischung, die je zur Hälfte aus gutem und weniger gutem Wein besteht, fahrendes Gesinde bekommt eine schlechtere Mischung. Die einzigen Gefäße, die dem Gastwirt zum Weinholen zur Verfügung stehen, sind drei jeweils genau gleich große Tonkrüge. Messinstrumente jeglicher Art wie Waagen, Zentimetermaße, Uhren usw. besitzt er keine, jedoch ist bekannt, dass der guteWein genau doppelt so schnell aus dem aufgedrehten Zapfhahn fließt wie der weniger gute Wein. Die Zapfhähne befinden sich so nah beieinander, dass sie von einer Person gleichzeitig bedient werden können. Wein, welcher sich einmal in einem Krug befindet, darf nicht wieder ins Fass zurückgeschüttet werden, auch dann nicht, wenn er noch ungemischt ist. Es darf im Weinkeller auch nichts aus einem Krug weggeschüttet, in andere Gefäße umgefüllt oder getrunken werden. Es darf allenfalls Inhalt aus einem der drei Krüge in einen der anderen Krüge geschüttet werden. In den Fässern befindet sich noch die gleiche Menge vom guten Tropfen wie vom weniger guten Tropfen. Der Gastwirt will, dass dies auch garantiert so bleibt. Stammgäste sollen einen Krug mit einer exakten 50   :   5 0-Mischung bekommen. Wenn daher der zweite Krug mit einer besseren Mischung für Ratsherren gefüllt wird und diese Mischung guten zu weniger gutem Wein im Verhältnis A:B beinhaltet, dann muss umgekehrt der Krug für das Gesinde die Mischung B:A aufweisen, damit garantiert von jedem Wein die gleiche Menge übrig bleibt, nachdem man im Keller drei volle Krüge für die drei unterschiedlichen Kundengruppen aufgefüllt hat.
    Wenn der Gastwirt diese Regeln für die drei Mischungsverhältnisse mit den gegebenen Mitteln garantiert einhält, ist es dann möglich, dass dabei jedes beliebige (aber nicht unbedingt konkret beabsichtigte) Mischungsverhältnis A:B mit A > B für den Wein der Ratsherren zustande kommen kann, oder gibt es Mischungsverhältnisse, die theoretisch nicht vorkommen können? Falls ja, welche Mischungsverhältnisse sind dies? Bitte begründen Sie Ihr Ergebnis. Der Gastwirt kann übrigens aus diversen Gründen bei einem Kellergang nicht öfter als zweimal Wein aus einem Krug in einen anderen umschütten. Also Mischungsverhältnisse, die nur durch noch oftmaligeres Umschütten entstehen könnten, müssen Sie als unmögliche Mischungsverhältnisse betrachten.
    [Lösung]

63 Einbahnstraßen für Leitersheim
    Die Leitersheimer Wirtschaft besteht zum größten Teil aus sympathischen kleinen Ladengeschäften und einer großen Anzahl an einladenden Bistros, Cafés, Biergärten, Schnellimbissen und Speiselokalen. Die Stadtfinanzen stehen und fallen also mit der Konsumbereitschaft der Menschen vor Ort. Doch weder bei den Einheimischen noch bei den Gästen scheint das Geld besonders locker zu sitzen. Deshalb greift der Bürgermeister nun auf einen alten Trick der Supermärkte zurück und zwingt die Autofahrer, kleine Umwege zu fahren, damit sie vielleicht unterwegs doch Lust auf ein wenig Konsum bekommen. Im Internet ersteigert er sich günstig einen Satz von 11   Einbahnstraßenschildern. Wenn er die Quersträßchen in Einbahnstraßen umfunktioniert, dann müssen Autofahrer manchmal einen kleinen Umweg in Kauf nehmen. Das erste Quersträßchen mit dem Kaufhaus sowie das letzte Quersträßchen mit dem Haus von Herrn Hintermond sollen keine Einbahnstraßen werden, aber dies sollen die beiden einzigen Ausnahmen bleiben. Damit nun die Leitersheimer ihre Autos nicht zu Hause stehen lassen, werden die erlaubten Fahrtrichtungen für die Einbahnstraßen so auf die einzelnen Quersträßchen verteilt, dass die Anzahl der unterschiedlichen Wege, die vom Ortsanfang (dem Kaufhaus) zum Ortsende (dem Haus von Herrn Hintermond) führen, maximal ist. Natürlich vorausgesetzt, dass man die beiden Hauptstraßen immer nur dieselbe Richtung entlangfährt. Wie müssen die erlaubten Fahrtrichtungen nun auf die einzelnen Quersträßchen verteilt werden, um die größtmögliche Anzahl unterschiedlicher Fahrtwege zu bekommen? Und wenn die Fahrtrichtungen unter diesen Bedingungen so angelegt werden, dass Herr Hintermond in der Aufgabe Weihnachtskauf in Leitersheim (S.   20) seinen Heimwegnoch immer wie beschrieben angehen könnte, also dass er noch immer direkt nach dem Weihnachtsmarkt die nächste Querstraße nehmen könnte usw., wie viele verschiedene Möglichkeiten für