Das neue Haus vom Nikolaus

eines solchen Quadrats ist, dann beträgt die Strecke von der jetzigen Position bis B genau √2, die Länge von B nach C beträgt dann 1.   Wenn wir von C aus den halben Kreisumfang in Richtung D abfahren hat dieser Bogen die Länge π und wenn wir am Ende dieser Halbumrundung den Punkt D annehmen und von diesem aus senkrecht auf die Tangente an C' stoßen, hat dieses Reststück auch wieder die Länge 1.   Die Längen dieser Stücke aufsummiert und mit 100   Meilen multipliziert ergibt dies etwa 655,58   Meilen.
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16 Kreative Geschenkideen
    Das Volumen eines Körpers ist immer proportional zur dritten Potenz einer ausgezeichneten Strecke oder Länge an diesem Körper, solange man zueinander ähnliche Körper betrachtet. Wir haben als Körper einen Kegel und verwenden als ausgezeichnete Strecke die Kegelhöhe. Wenn wir einen ungeschickten Ansatz wählen, können wir jedoch rasch zu einer umständlichen Gleichung dritten Grades gelangen, da wir es mit dritten Potenzen zu tun haben. Solche Gleichungen lassen sich zwar prinzipiell auch auflösen, jedoch sind die dafür benötigten Formeln nicht sehr geläufig und sehr viel unhandlicher als die Mitternachtsformel zur Auflösung quadratischer Gleichungen. Hier nun eine Lösung, die mit einfacher Schulmathematik gewonnen werden kann. Der Gesamtkegel habe die Höhe n , und wir zersägen den Kegel so wie der KunsthandwerkerDoppel-Moppel, so dass wir eine Spitze und einen unteren Teil erhalten. Die abgesägte Spitze habe noch die Resthöhe m . Das Kelchvolumen beträgt dann m 3 . Das untere Stück besitzt das Volumen n 3 – m 3 . Wenn wir jetzt in das gewendete untere Stück die Spitze hineinstellen, dann müssen wir nochmal denjenigen Teil des Volumens der Spitze subtrahieren, welcher unterhalb des oberen Randes des Unterteils liegt. Dieser Volumenteil beträgt m 3 – ( 2   m – n) 3 . Somit ergibt sich das Ringvolumen zu n 3 – 2   m 3 + ( 2   m – n) 3 . Ihnen ist sicher aufgefallen, dass wir hier überhaupt nicht mit den tatsächlichen Volumina der Körper rechnen. Die tatsächlichen Volumina enthalten noch einen für den jeweiligen Körper typischen Formfaktor. Bei der Kugel z.   B. wäre dieser Faktor 4 / 3 π bezogen auf den Kugelradius. Da wir jedoch gleich zwei Volumina zueinander ähnlicher Körper bzw. von Summen und Differenzen ähnlicher Körper gleichsetzen werden, können wir diesen Faktor auf beiden Seiten der Gleichung kürzen, und deshalb haben wir uns die Mühe von vornherein erspart, diesen Faktor umständlich einzuführen und mitzuführen. Gleichsetzen von Kelchvolumen und Ringvolumen führt zu m 3 = n 3 – 2   m 3 + ( 2   m – n) 3 . Durch Ausmultiplizieren und Umstellen erhalten wir: 5   m 3 – 12   m 2 n + 6mn 2 = 0 .
    Es spricht nichts dagegen, n auf den Wert 1 zu setzen und ausgehend von diesem Wert ein passendes m zu bestimmen. Immerhin haben wir ja angenommen, dass der ursprüngliche Kegel einen Meter Höhe haben sollte. Damit bekommen wir: 5   m 3 – 12   m 2 + 6   m = 0 . Division beider Seiten durch m führt dann auf eine Quadratische Gleichung mit der Lösung

    Die zweite Lösung der Quadratischen Gleichung würde auf ein m führen, welches größer als n wäre und somit keiner geometrisch möglichen Gegebenheit entspräche.
    Der Kegel muss also in einer Höhe von

    Meter über der Grundfläche auseinandergesägt werden. Das entspricht knapp 29   cm .
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17 Die Wägekunst der Beerenhexe
    Eine Überlegung vorneweg: Natürlich kann die Beerenhexe bei ihrer Balkenwaage die Gewichte in beide Waagschalen legen. Damit kann sie also nicht nur Summen, sondern auch Differenzen von Gewichten bilden. Um also 20   Gramm Beeren abzuwiegen, würde die Beerenhexe in die eine Waagschale das 2 5-Gramm -Gewicht, in die andere Schale die Gewichte 1   Gramm sowie 4   Gramm zusammen mit den Beeren ablegen. Wenn wir jetzt systematisch alle möglichen Summen und Differenzen aus den bereits vorgegebenen Gewichten bilden, so stellen wir fest, dass wir einige Gewichte nicht bilden können, nämlich:
    18, 42, 43, 54, 55, 59, 63, 67, 68, 72,
    während wir alle übrigen Gewichte zwischen 1 und 74 zustande bringen. Unsere nächstgrößere Quadratzahl sollte nun zum einen etwa in der Größenordnung von maximal 2 × 74 liegen, weil wir mit den bisherigen Zahlen bis 74 kommen, und wenn wir von 2 × 74 74 (= alle anderen Gewichte) abziehen, direkt Anschluss an die