Der Geek-Atlas (German Edition)

dazu auf andere Bereiche
     der Mathematik zurückgreift.
    Gödels erster Schritt bestand darin, jeden Teil der Mathematik in Zahlen umzuwandeln. Er begann mit einem einfachen System
     der Mathematik, das nur wenige Symbole besaß (Dinge wie die Zahl 0 und das Pluszeichen) und wies jedem dieser Symbole eine
     Nummer zu. Folgen von Symbolen (wie 2 + 2 = 4) konnten dann in eine einzelne Zahl umgewandelt werden, indem man eine Zahl
     für jedes Symbol einsetzte.
    Mit anderen Worten ausgedrückt bestand sein erster Schritt also darin, ein formales System der Mathematik zu entwickeln und
     jedem Symbol eine Nummer zuzuordnen ( Tabelle 105.1 ). Gödel nutzte ein System wie dieses: 0 könnte die Zahl 11 zugewiesen werden, + die 13, × die 14 und = die 15.
    Tabelle 105.1 Tabelle der Symbolzahlen (Auszug)
    Symbol
Number
Meaning
0
11
Die Zahl 0
S
12
Der Nachfolger (»eins mehr als«)
+
13
Addition
×
14
Multiplikation
=
15
Gleich
<
16
Kleiner als
(
17
Linke Klammer
)
18
Rechte Klammer
a
19
Variable
’
2
Primärsymbol
    Die Zahl in der ersten Spalte ist die 0. Jede andere Zahl kann aus der 0 aufgebaut werden, indem man ihr genügend S-Operatoren
     voranstellt (z. B. kann die 4 mit SSSS0 ausgedrückt werden). Außerdem gibt es nur eine Variable a. Wenn Sie mehrere Variablen
     benötigen, folgen auf dass so viele Primärsymbole (’) wie nötig.
    Mit diesem Nummerierungssystem kann man mathematische Aussagen in Form von Zahlen ausdrücken. So ist 2 + 2 = 4 beispielsweise
     mit SS0 + SS0 = SSSS0 identisch. Dies lässt sich wiederum gemäß der eben angeführten Tabelle mit 12121113121211151212121211
     ausdrücken. Jede mathematische Aussage, die mit diesen Symbolen formuliert wird, kann also in eine Zahl umgewandelt werden.
    Man kann auch mehrere Aussagen zu einer einzelnen Zahl zusammenfassen, indem man die einzelnen Aussagen aneinanderreiht und
     jeweils durch eine 0 trennt. So könnte man beispielsweise a = 2 gefolgt von a’ = 4 als 191512121101920151212121211 schreiben.
    Diese Zahlen werden Gödelzahlen genannt und bilden den Schlüssel des Unvollständigkeitssatzes. Für jede Aussage F(a) über
     eine Variable a gibt es eine Gödelzahl G(F).
    Nun kommt der große Schritt – möglicherweise müssen Sie die beiden folgenden Absätze zweimal lesen.
    Beweise oder Beweisbarkeit können mit Gödelzahlen ausgedrückt werden. Ein Beweis ist einfach eine Liste mathematischer Aussagen
     in der mathematischen Sprache, wobei die letzte die Aussage ist, die Sie beweisen möchten. Doch da wir gesehen haben, dass
     jede Liste von Aussagen in eine Gödelzahl umgewandelt werden kann, ist auch der Beweis wieder eine Gödelzahl.
    Nun stellen Sie sich vor, dass Sie die Aussage p beweisen wollen. Für jede Gödelzahl g können Sie eine Frage stellen: »ist
     g ein Beweis für p«? Und weil p eine Gödelzahl G(p) besitzt, ist dies letztendlich eine Frage der Beziehung zweier Zahlen:
     g und G(p). Das ganze mathematische System basiert auf Aussagen mittels Zahlen. Auch die Beweisbarkeit einer Aussage wird
     zu einer Frage von Beziehung zwischen Zahlen. Daher kann die Beweisbarkeit mittels des mathematischen Systems ausgedrückt
     werden.
    Dann formulierte Gödel die Aussage »ich bin nicht beweisbar«. Diese Aussage war eine mathematische Aussage, die innerhalb
     des von Gödel definierten Symbolsystems definiert war und besaß daher eine Gödelzahl. Eine solche Aussage ist nicht beweisbar.
     Wenn sie es wäre, gäbe es einen Widerspruch (»ich bin nicht beweisbar« wäre beweisbar). Auf diese Weise zeigte Gödel, dass
     auch ein scheinbar konsistentes System Theoreme aufweist, die innerhalb des Systems selbst nicht beweisbar sind.
    ----

Kapitel 106. Trinity Test Site, White Sands Missile Range, NM
    33° 40′ 38.28″ N, 106° 28′ 31.44″ W

    16. Juli 1945
    Zweimal im Jahr, jeweils am ersten Sonntag im April und Oktober, ist die Trinity Test Site, der Ort an dem die erste Atombombe
     gezündet wurde, der Öffentlichkeit zugänglich. Der Eintritt ist frei, man muss nicht reservieren und Kameras sind erlaubt.
    Das Trinity-Gelände befindet sich auf dem Gelände der White Sands Missile Range in New Mexico. Dieses Raketengelände umfasst
     über 8000 Quadratkilometer und wurde aktiv für Raketen- und Artillerietests genutzt. Hier arbeiteten auch von den Amerikanern
     gefangen genommene deutsche Wissenschaftler wie Wernher von Braun an der Raketentechnik und schossen modifizierte V-2-Raketen,
     die in Bumper umbenannt worden waren, ab.
    Auch