Gauß: Eine Biographie (German Edition)

Viktoria-See wieder erreicht ist. Dieses gleichseitige Dreieck auf der Erdkugel hat drei rechte Winkel, sodass ihre Summe 270 Grad beträgt. Diese Tatsache können Sie leicht auf einem Globus überprüfen. Stecken Sie jeweils eine Nadel in Nordpol, Dschungel und Insel und verbinden Sie die drei Punkte mit einem Bindfaden. Sollte es sich bei Ihrem Globus allerdings um ein aufblasbares Exemplar handeln, empfiehlt es sich, auf die Nadeln zu verzichten. Selbstverständlich gibt es auch kleinere sphärische Dreiecke, deren Winkelsumme nicht an 270 Grad heranreicht – beispielsweise mit den Eckpunkten Stockholm, Casablanca, Kairo. Aber die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Kugel wird stets größer sein als 180 Grad.
    Aber aus der Gauß’schen Krümmung ergibt sich noch eine andere Konsequenz. Denn es gibt nicht nur die positive Krümmung, die beim sphärischen Dreieck zu einer Winkelsumme führt, die den euklidischen Höchstwert von 180 Grad überschreitet, sondern auch Flächen, die negativ gekrümmt sind. Gauß und Waltershausen müssen in diesem Augenblick nur den Kopf ein wenig zur Seite drehen, so sehen und hören sie, wie sich der Fanfarenzug auf dem Bahnhofsvorplatz in Bewegung setzt und dahinter die Vertreter der studentischen Verbindungen auf ihren Pferden folgen.
    Fanfare und Pferdesattel sind Beispiele für negativ gekrümmte Flächen. Zeichnet man dort, wo das Rohr der Fanfare in den Schalltrichter übergeht, ein Dreieck ein, so ist dessen Fläche negativ gekrümmt und die Winkelsumme stets geringer als 180 Grad. Und ein auf die negative Wölbung eines Pferdesattels gezeichneter Kreis wird in einer wichtigen geometrischen Eigenschaft ebenfalls von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweichen. In der Schule haben wir gelernt, dass der Umfang eines Kreises dem Produkt aus der Zahl Pi (π) und dem Durchmesser «d» entspricht. Der Umfang eines Kreises auf der Sattelwölbung wird aber immer größer sein als d mal π.
    Offensichtlich stehen solche Gebilde in krassem Widerspruch zur Geometrie Euklids, die bis ins 19. Jahrhundert als die einzig wahre Beschreibung der Fläche und des Raumes galt. Ihrzufolge hätte die Winkelsumme unseres Dreiecks die vorgeschriebenen und unverrückbaren 180 Grad nicht überschreiten dürfen. Bereits als Student hat Gauß an der Allgemeingültigkeit der euklidischen Geometrie gezweifelt. Bei seinen jahrelangen Vermessungsarbeiten in der norddeutschen Landschaft ist er nun endgültig zu einer eigenen allgemeinen Geometrie der gekrümmten Fläche gelangt, die auch die Flächen auf der Erde sowie die Tatsache berücksichtigt, dass unser Planet keine perfekte Kugel, sondern ein unebenes Ellipsoid ist. Manche Gauß-Interpreten haben darüber spekuliert, Gauß könne bei seinem größten Dreieck Hoher Hagen – Brocken – Inselsberg mit den Seitenlängen 68, 105 und 84 Kilometern die Absicht gehabt haben, die Raumkrümmung direkt nachzuweisen. «Im Rahmen seiner Messgenauigkeit hätte er solch eine Abweichung jedoch überhaupt nicht finden können. Die Krümmung des Raumes nahe der Erdoberfläche ist derart gering, dass es selbst mit heutigen Messmethoden kaum möglich sein dürfte, diesen Effekt nachzuweisen» [Hab: 122].
    Dass Gauß mit der mathematischen Struktur seiner Flächentheorie, wie die Göttinger Mathematikerin Katharina Habermann betont, «auch die Geometrie unserer Welt, also die Physik berührt» [Hab: 123], sollte weitreichende Konsequenzen haben. Denn damit liefert er Albert Einstein das Schlüsselelement für dessen revolutionäres Konzept der Schwerkraft. Zuvor bedarf die Gauß’sche Idee aber erst noch einer Weiterentwicklung durch den jungen Bernhard Riemann. Er verallgemeinert die Gauß’sche Krümmung auf mehr als zwei Dimensionen und spielt somit eine Vermittlerrolle zwischen Gauß und Einstein. Dessen Allgemeine Relativitätstheorie fügt Raum und Zeit untrennbar zusammen und beweist, dass die sogenannte Schwerkraft oder Gravitation gar keine Kraft ist, sondern eine geometrische Größe, nämlich die durch Masse gekrümmte vierdimensionale Raumzeit. Riemann hat seine Habilitationsvorlesung über die Verallgemeinerung der Gauß’schen Flächentheorie nach Absprache mit Gauß persönlich gerade erst einige Wochen vor der Bahnhofseinweihung, nämlich am Samstag nach Pfingsten, an der Universität Göttingen gehalten. Und Gauß hat sich auf dem Heimweg «gegen Wilhelm Weber mit höchster Anerkennung und mit einer bei ihm seltenen Erregung über die Tiefe