Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

durch „ −− “ und y durch „ −−− “ ersetzt worden sind.
    R EGEL : Wenn x IKT y ein S ATZ ist, dann auch x IKT xy .
    Wendet man diese Regel zweimal an, so kann man den folgenden S ATZ erzeugen:
    −−−−−IKT−−−−−−−−−−−−
    interpretiert als „5 ist kein Teiler von 12“. Aber −−−IKT−−−−−− ist kein S ATZ . Was geht schief, wenn man ihn zu erzeugen sucht?
    Nun müssen wir uns einige Kenntnisse über Nichtteilbarkeit verschaffen, wenn wir feststellen wollen, ob eine gewisse Zahl eine Primzahl ist. Insbesondere wollen wir wissen, daß sie nicht durch 2, 3, oder 4 usw. bis zu einer unmittelbar vorhergehenden Zahl teilbar ist. Doch können wir in einem formalen System etwas so Vages wie „usw.“ nicht zulassen. Wir müssen die Dinge aussprechen. Wir hätten gern eine Methode, um in der Sprache des Systems auszudrücken, daß die Zahl Z bis zu X teilerfrei ist, was bedeutet, daß keine Zahl zwischen 2 und X ein Teiler von Z ist. Man kann das tun, aberman muß sich dazu eines Tricks bedienen. Denken Sie darüber nach, wenn Sie wollen. Hier die Lösung:
    R EGEL : Wenn −−IKT z ein S ATZ ist, dann auch z TF−− .
    R EGEL : Wenn z TF x ein S ATZ ist, und ebenso x −IKT z, dann ist z TF x − ein S ATZ .
    Diese beiden Regeln halten den Begriff der Tellerfreiheit fest. Wir brauchen lediglich zu sagen, daß Primzahlen Zahlen sind, die bis zu der unmittelbar vorhergehenden Zahl teilerfrei sind.
    R EGEL : Wenn z −TF z ein S ATZ ist, dann ist P z − ein S ATZ . Aber halt: vergessen wir nicht, daß 2 eine Primzahl ist:
    A XIOM : P−− .
    Und damit hätten wir es. Das Prinzip für die formale Repräsentation der Primzahl-Eigenschaft ist, daß es einen Test für Teilbarkeit gibt, der angewendet werden kann, ohne daß man zurückzugehen braucht. Man bewegt sich nach oben und prüft nacheinander die Teilbarkeit durch 2, 3 usw. Diese „Gleichförmigkeit“, dieses Fehlen des Wechselspiels zwischen Verlängerung und Verkürzung, zwischen Vermehrung und Verminderung gestattet, die Primzahl-Eigenschaft einzufangen. Und diese potentielle Komplexität formaler Systeme ist es, die beliebige Mengen von Rückwärts-Vorwärts-Interferenzen zuläßt, die für Grenzergebnisse wie Gödels Satz, Turings Halte-Problem und die Tatsache verantwortlich sind, daß nicht alle rekursiv aufzählbaren Mengen rekursiv sind.

Contrakrostipunktus
    Achilles ist bei seinem Freund und Jogging-Kumpanen, Theo Schildkröte, zu Besuch.
Achilles:
H immel, Sie haben eine wunderschöne Sammlung von Bumerangs.
Schildkröte:
Oh, es geht. Auch nicht besser als die von andern Schildkröten. Und jetzt — bitte einzutreten ins Wohnzimmer.
Achilles:
Fein. (Geht in eine Ecke des Zimmers) Ich sehe, Sie haben auch eine große Schallplattensammlung. Welche Musik haben Sie am liebsten?
Schildkröte:
Sebastian Bach finde ich gar nicht so schlecht. Aber in letzter Zeit interessiere ich mich immer mehr für eine ziemlich spezielle Art von Musik.
Achilles:
Traurige oder fröhliche?
Schildkröte:
Ach, eine Art von Musik, von der Sie ganz sicher noch nie gehört haben. Ich nenne sie „Musik zur Zerstörung von Grammophonen“.
Achilles:
Das habe ich doch richtig verstanden, „zur Zerstörung von Grammophonen“? Eine kuriose Vorstellung. Ich kann mir gut denken, wie Sie, den Vorschlaghammer in der Hand, ein Grammophon nach dem andern zertrümmern, begleitet von Beethovens heroischem Meisterwerk Wellingtons Sieg.
Schildkröte:
Tja, das ist nicht ganz das, worum es sich handelt. Aber vielleicht interessiert Sie diese Art Musik? Soll ich sie Ihnen kurz beschreiben?
Achilles:
Eben das dachte ich auch.
Schildkröte:
Relativ wenig Leute kennen sie. Es fing alles mit dem Besuch meines Freundes Carl Krebs an — Sie kennen ihn doch?
Achilles:
's wäre ein Vergnügen, ihn kennenzulernen. Ich habe schon viel von ihm gehört, kenne ihn aber nicht.
Schildkröte:
Später werde ich Sie beide einmal zusammenbringen. Vielleicht könnten wir uns einmal „zufällig“ im Park begegnen ...
Achilles:
C apitaler Vorschlag! Ich freue mich darauf. Aber Sie wollten mir etwas über Ihre sonderbare „Musik zum Zerdeppern von Grammophonen“ erzählen?
Schildkröte:
Oh ja. Nun, eines Tages kam Carl Krebs zu mir zu Besuch. Nun hat er schon immer eine Schwäche für ausgefallene Spielereien gehabt, und damals war er ausgerechnet auf Grammophone versessen. Seinen ersten Plattenspieler hatte er gerade erstanden, und da er leichtgläubig ist,