Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

mathematischem Hintergrund jedoch erkennen sofort, dass jede der drei auf ihre eigene Art bemerkenswert ist.

    Die Anzeige auf der Großbildleinwand aus »Homerun für die Liebe«.
    Die erste Zahl, 8191, ist eine Primzahl. Sie gehört zu einer besonderen Gruppe der Primzahlen, den Mersenne-Primzahlen. Sie sind benannt nach Marin Mersenne, der in Paris im Jahr 1611 dem Paulanerorden beitrat und danach seine Zeit zu gleichen Teilen mit Gebeten und der Verehrung der Mathematik verbrachte. Mersennes besonderes Interesse erweckte eine Menge von Zahlen mit der Form 2 p – 1, wobei p eine Primzahl ist. Die Tabelle auf der nächsten Seite zeigt die Formel 2 p – 1 mit allen Primzahlen, die kleiner als 20 sind.
    In der Tabelle fällt auf, dass 2 p – 1 Zahlen ergibt, die Primzahlen sein könnten. Tatsächlich sind alle Zahlen in der rechten Spalte Primzahlen, mit Ausnahme von 2047, weil 2047 = 23 × 89. Die Formel 2 p – 1 generiert also mit Primzahlen mögliche neue Primzahlen, die sogenannten Mersenne-Primzahlen. Für p = 13 ergibt das 2 13 − 1 = 8191 und damit die Mersenne-Primzahl, die in »Homerun für die Liebe« auftaucht.
Primzahl (p)
2 p – 1
Primzahl?
2
2 2 − 1 =
3
3
2 3 − 1 =
7
5
2 5 − 1 =
31
7
2 7 − 1 =
127
11
2 11 − 1 =
2047
13
2 13 − 1 =
8191
17
2 17 − 1 =
131071
19
2 19 − 1 =
524287

    Mersenne-Primzahlen gelten als Promis unter den Zahlen, weil die zehn größten Mersenne-Primzahlen die größten Primzahlen sind, die je identifiziert wurden. Manche sind titanische Primzahlen (mit mehr als 1000 Ziffern), andere sind gigantische Primzahlen (mit mehr als 10000 Ziffern), und die allergrößten werden als Megaprimzahlen bezeichnet (die mehr als eine Million Ziffern haben). Die größte Mersenne-Primzahl (2 57885161 − 1) wurde im Januar 2013 entdeckt und ist über 17 Millionen Ziffern lang. 23
    Die zweite Zahl auf der Stadionleinwand ist 8128, eine sogenannte perfekte Zahl, oft auch als vollkommene Zahl bezeichnet . Die Perfektion einer Zahl hängt von ihren Teilern ab, jenen Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist. Ein Beispiel: Die Teiler von 10 sind 1, 2, 5 und 10. Eine Zahl gilt als perfekt, wenn die Summe ihrer Teiler (außer der Zahl selbst) die Zahl selbst ergeben. Die kleinste perfekte Zahl ist 6, weil 1, 2 und 3 Teiler von 6 sind und 1 + 2 + 3 = 6. Die zweitkleinste perfekte Zahl ist 28, weil 1, 2, 4, 7 und 14 Teiler von 28 sind und 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Die dritte perfekte Zahl ist 496, und die vierte perfekte Zahl ist 8128, die in »Homerun für die Liebe« auftaucht.
    Diese vier perfekten Zahlen waren bereits den Griechen der Antike bekannt. Die nächsten drei perfekten Zahlen wurden allerdings erst mehr als 1000 Jahre später entdeckt: 33550336 um das Jahr 1460, die nächsten beiden, 8589869056 und 137438691328, im Jahr 1588. René Descartes, französischer Philosoph und Mathematiker des 17.Jahrhunderts, stellte fest: »Perfekte Zahlen sind wie perfekte Menschen: äußerst selten.«
    Weil es so wenige perfekte Zahlen gibt und sie so weit auseinanderliegen, liegt der Schluss nahe, dass es nur eine endliche Anzahl von ihnen gibt. Einen Beweis hierfür gibt es aber noch nicht. Alle bisher entdeckten perfekten Zahlen sind gerade Zahlen, daher werden vermutlich auch alle noch zu entdeckenden perfekten Zahlen gerade sein. Doch auch diese Annahme ist noch unbewiesen.
    Offensichtlich gibt es in diesem Bereich noch Wissenslücken, dennoch ist einiges über perfekte Zahlen bekannt. So wurde etwa bewiesen, dass perfekte Zahlen, die gerade sind (also vermutlich alle), Dreieckszahlen sind:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
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    Ebenfalls bekannt ist, dass gerade perfekte Zahlen (außer 6) immer die Summe einer Folge aufeinanderfolgender ungerader Kubikzahlen sind:
    28 = 1 3 + 3 3
    496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3
    8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3
    Und schließlich ist auch noch bekannt, dass eine enge Verbindung zwischen perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen besteht. Mathematiker bewiesen, dass es von beiden exakt gleich viele gibt und dass mit jeder Mersenne-Primzahl eine gerade perfekte Zahl generiert werden kann. Bisher sind nur 48 perfekte Zahlen bekannt, weil nur 48 Mersenne-Primzahlen bekannt sind.
    Die Besonderheit der dritten Zahl, 8208, die auf der Stadionanzeige erscheint, besteht darin, dass sie eine