Ist Gott ein Mathematiker

Sehr große Zahlen aber sind ausgesprochen unhandlich darzustellen, wenn man sie in normaler Notierung niederschreibt (versuchen Sie mal, einen Scheck über 8,4 Billionen Dollar – Stand der Staatsverschuldung der USA im Juli 2006 – auszustellen und diese Zahl in dem für die Summe vorgesehenen Zahlenfeld unterzubringen). Archimedes entwickelte daher ein System, das es ihm ermöglichte, Zahlen mit 80 Billiarden Stellen darzustellen, und machte Gebrauch von diesem System in einem Aufsatz mit dem Titel
Die Sandrechnung
oder
Die Sandzahl,
in dem er zeigt, dass die Anzahl der Sandkörner auf der Erde nicht unendlich ist.
    Schon die Einleitung zu dieser Abhandlung ist derartig brillant, dass ich einen Teil davon an dieser Stelle wiedergeben will (die Schrift war an Gelon, den Sohn von König Hieron II., gerichtet):
    Es gibt Leute, König Gelon, die der Meinung sind, die Zahl des Sandes sei unendlich groß; und ich meine mit dem Sande nicht nur den,der sich bei Syrakus und im übrigen Sizilien befindet, sondern auch den in allen möglichen bewohnten oder unbewohnten Gegenden. Andere gibt es, die ihn zwar nicht für unendlich halten, aber doch meinen, daß noch keine Zahl genannt worden sei, die seine Menge zu übertreffen imstande wäre. Und es ist klar, wenn die Anhänger dieser Meinung sich eine aus Sand bestehende Masse dächten, die der Erdmasse im übrigen gliche, und alle Meere und Vertiefungen der Erde bis zur Höhe der höchsten Berge mit Sand aufgefüllt, daß sie dann noch viel weniger einsehen, daß man eine die Menge dieses Sandes übertreffende Zahl angeben könne. Aber ich will Dir durch geometrische Beweise, denen du folgen kannst, zu zeigen suchen, daß unter den von mir benannten und in dem an Zeuxippus gesandten Werke angegebenen Zahlen einige nicht nur größer sind als die Zahl der Sandmasse, die der in der beschriebenen Weise vollgefüllten Erde an Größe gleich ist, sondern auch als die einer Masse, die an Größe dem Weltall gleich ist. Nun weißt du, daß die meisten Astronomen mit «Weltall» die Kugel bezeichnen, deren Mittelpunkt der Mittelpunkt der Erde und deren Radius die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Sonne und dem Mittelpunkt der Erde ist. Das hast du aus den von den Astronomen beschriebenen Darlegungen gelernt. Aristarch von Samos hat nun ein aus gewissen Hypothesen bestehendes Buch herausgegeben, in dem die Annahmen zu dem Ergebnis führen, daß das Weltall vielemale so groß ist wie das, was ich eben so genannt habe. Er setzt voraus, daß die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien und die Erde sich in einer Kreislinie um die Sonne bewege, die im Mittelpunkt der Bahn liege und daß die Kugel der Fixsterne, um denselben Mittelpunkt wie die Sonne gelegen, so groß sei, daß der Kreis, den er sich von der Erde durchlaufen denkt, sich zu der Entfernung der Fixsterne verhält wie der Mittelpunkt der Kugel zu ihrer Oberfläche.
    Diese Einleitung macht zwei Punkte sehr schön deutlich: (1) Archimedes war bereit, auch sehr verbreitete, populäre Überzeugungen auf den Prüfstand zu stellen (beispielsweise die Unendlichkeit der Zahl an Sandkörnern), und (2) er hatte große Achtung vor der heliozentrischen Theorie des Astronomen Aristarch von Samos (im weiteren Verlauf der Abhandlung korrigiert er eine von dessen Hypothesen). Im Universum des Aristarch drehten sich die Erde und die Planeten um eine stationäre Sonne im Zentrum des Systems (denken Sie daran,dieses Modell wurde 1800 Jahre vor Kopernikus ersonnen!). Nach diesen einleitenden Sätzen beginnt Archimedes, das Problem der Sandkörner zu erörtern, wobei er in logischer Folge einen Schritt nach dem anderen tut. Zuerst schätzt er, wie viele Sandkörner man wohl nebeneinanderlegen müsste, um den Durchmesser eines Mohnsamens zu erreichen, dann, wie viele Mohnkörner die Breite eines Fingers ergäben, und schließlich, wie viele Fingerbreit auf ein Stadion (das entspricht einer Länge von etwa 200 Metern) gehen, und fährt dann fort bis auf 10 Milliarden Stadien. Ganz nebenbei erfindet Archimedes ein Zahlenschema und eine Notation, die ihm, miteinander kombiniert, das Darstellen riesiger Zahlen ermöglicht. Da Archimedes annahm, dass die Sphäre der Fixsterne weniger als zehn Millionen Mal größer sei als die Sphäre, zu der (von der Erde aus betrachtet) die Sonnenumlaufbahn gehört, kam er zu dem Schluss, dass die Anzahl der «Sandkörner, die in einer Kugel von der Größe der Kugel der Fixsterne enthalten wäre», unter