Je mehr Löcher, desto weniger Käse

liegt – so wirkt es zumindest. Ich habe gar nicht erst angefangen zu zählen, aus wie vielen Sechsecken das Gerüst besteht. Mir wurde nämlich ziemlich schnell klar, dass es sich nicht um einen Platonischen Körper handeln kann.
    Skulptur in Arken bei Kopenhagen: scheinbar platonisch
    Denn die Sechsecke können nicht regelmäßig sein, ansonsten würde man die Krümmung der Kugeloberfläche ja gar nicht hinbekommen. Die Abweichung vom regulären Sechseck mit sechs gleich langen Seiten ist jedoch nur minimal, sodass sie uns beim Betrachten kaum auffällt. Zudem enthält die Konstruktion auch Fünfecke, was auf dem Foto kaum zu erkennen ist.
Cantors genialer Schachzug
    Beim Primzahlbeweis zu Beginn des Kapitels haben wir die Unendlichkeit geschickt umgangen. Jetzt kommen wir zu einem Beweis, der davor nicht zurückschreckt. Der Hallenser Mathematiker Georg Cantor hat vor über hundert Jahren die Mengenlehre begründet. Sie kennen sicher die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge aller gebrochenen oderauch rationalen Zahlen. Cantor interessierte sich auch dafür, ob eine Menge mächtiger ist als eine andere.
    Mit »mächtig« meinte Cantor nicht etwa den Umfang oder die Masse der Zahlen, sondern etwas anderes. Zwei Mengen sind gleich mächtig, wenn ihre Elemente einen Tanzball veranstalten können, bei dem niemand frustriert zuschauen muss, weil er keinen Partner gefunden hat. Ein Tanzpaar setzt sich aus einem Element der ersten und einem der zweiten Menge zusammen. Bei gleich mächtigen Mengen findet jedes Element beider Mengen einen Tanzpartner – und keiner bleibt übrig.
    Wenn 50 Mädchen auf 30 Jungs treffen, dann funktioniert das nicht. Die Menge der Mädchen ist nämlich mächtiger als die Menge der Jungen.
    E iner der Vorteile davon, ein wenig über Mathe zu wissen, besteht darin, dass Sie Ihre Freunde damit beeindrucken können.
Ian Stewart (geb. 1945), britischer Mathematiker und Sachbuchautor
    Cantor hat aber auch Mengen mit unendlich vielen Elementen miteinander verglichen. Er hat sich zum Beispiel Gedanken darüber gemacht, was bei einem Ball passieren würde, auf dem sich die natürlichen und die gebrochenen Zahlen treffen. Der Einfachheit halber nehmen wir nur die positiven gebrochenen Zahlen. Findet da jeder einen Partner? Oder schauen ein paar Brüche in die Röhre?
    Instinktiv denkt man natürlich: Zwischen den beiden natürlichen Zahlen 0 und 1 liegen unendlich viele Brüche, zum Beispiel 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 und so weiter. Also müssten die gebrochenen Zahlen deutlich in der Überzahl sein, obwohl natürlich beide Mengen unendlich viele Elemente enthalten. Doch Cantor konnte beweisen, dass die Mengen der natürlichen und dergebrochenen Zahlen gleich mächtig sind – jede Zahl also garantiert einen Partner findet.
    D ie erhebendsten Gefühle erlebt ein Mathematiker, nachdem er einen lange gesuchten Beweis endlich hinbekommen hat und bevor er den Fehler darin entdeckt.
    Die natürlichen Zahlen sind abzählbar – das liegt auf der Hand. Ich beginne bei 0 zu zählen, und irgendwann komme ich bei jeder beliebig großen Zahl an. Weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, sagt man auch, ihre Menge ist abzählbar unendlich. Das bedeutet: Ich kann die Elemente dieser Menge durchnummerieren. Und jedes Element, das ich aus der Menge herausgreife, trägt eine solche Nummer. Bei den natürlichen Zahlen entspricht diese Nummer genau der natürlichen Zahl selbst. Bei anderen abzählbar unendlichen Mengen ist das nicht ganz so einfach.
    Aber wie vergleicht man nun unendliche Mengen miteinander? Ganz einfach: Eine Menge ist genauso mächtig wie die natürlichen Zahlen, wenn sie ebenfalls abzählbar unendlich ist. Im Fall der gebrochenen Zahlen bedeutet das: Ein Element, das ich willkürlich herausgreife, zum Beispiel 2 / 3 , trägt quasi eine Nummer auf der Stirn. Cantors Verdienst ist es, eine Anleitung entwickelt zu haben, mit der wir diese Nummer berechnen können.
     

    Cantors Beweis, dass positive gebrochene und natürliche Zahlen gleich mächtig sind, beruht auf zwei genialen Ideen. Zuerst hat ereine Tabelle entworfen (siehe unten), in der alle positiven gebrochenen Zahlen ihren festen Platz haben. Hier ist der linke obere Ausschnitt zu sehen – die Tabelle geht unendlich weit nach rechts und nach unten weiter.
    Abzählen können wir die Zahlen in dieser Tabelle aber noch nicht. Wenn wir beispielsweise in der obersten Zeile links oben anfangen und dann nach rechts zählen, zählen wir bis