Je mehr Löcher, desto weniger Käse

griechischen Namen verraten, wie viele Seitenflächen sie haben:
    Oktaeder
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Tetraeder (Vierflächner aus vier Dreiecken)
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Hexaeder (Sechsflächner aus sechs Quadraten, also Würfel)
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Oktaeder (Achtflächner aus acht Dreiecken)
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Dodekaeder (Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken)
–
Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken)

    Nun die Frage: Warum gibt es nicht mehr als diese fünf Platonischen Körper?
    Die Aufgabe erscheint zunächst kompliziert. Warum soll ich nicht aus 60 oder 80 gleichseitigen Dreiecken einen geschlossenen räumlichen Körper bauen können? Warum nicht aus regelmäßigen Siebenecken?
    Dodekaeder
    Die Lösung ist wie so oft verblüffend einfach. Wir schauen uns einfach mal genauer an, was in den Ecken der Platonischen Körper geschieht. Dort stoßen die Ecken von mindestens drei Seitenflächen zusammen. Beim Tetraeder, Würfel und Dodekaeder (Fünfecken) sind es genau drei, beim Oktaeder vier und beim Ikosaeder fünf.
    Ikosaeder
    Ich kann die Seitenflächen einer solchen Ecke wie einen Bastelsatz aus Papier in die Ebene abwickeln – das Ergebnis sieht dann wie auf der Folgeseite aus.
    Um die Ecke zusammenzubauen, knickt man die Kanten alle einmal leicht und gibt etwas Leim auf den weißen Streifen. Diesen klebt man dann unter die gegenüberliegende Kante.
    Wenn man sich diese abgewickelten Ecken genauer anschaut, fällt auf, dass in allen fünf Fällen eine Lücke klafft. Das muss auch so sein, denn sonst könnte man die Polygone ja nicht zu einer räumlichen Ecke zusammenfügen. Alle von der Ecke ausgehenden Kanten müssen dabei leicht geknickt werden, damit sich die Lücke schließt. Anders ausgedrückt: Die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke zusammenstoßenden n-Ecke muss kleiner als 360 Grad sein.
    Jetzt ahnen Sie vielleicht schon, warum es nicht mehr als drei Platonische Körper gibt, die aus gleichseitigen Dreiecken bestehen. Beim Tetraeder stoßen an einer Ecke drei Dreiecke zusammen – die Summe der Innenwinkel ist 3   ×   60   =   180 Grad. Beim Oktaeder sind es vier Dreiecke und 4   ×   60   =   240 Grad, beim Ikosaeder fünf Dreiecke und 5   ×   60   =   300 Grad. Kommt noch ein Dreieck dazu, erreicht die Winkelsumme 360 Grad – das ist zu viel.
    Tetraeder
    Oktaeder
    Ikosaeder
    Aus Quadraten können wir nur einen Würfel bauen, bei dem eine Ecke aus drei Quadraten gebildet wird (3   ×   90   =   270). Bei vier Quadraten beträgt die Winkelsumme 360 Grad – ebenfalls zu viel für einen Platonischen Körper. Die Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks sind 108 Grad groß. Mit drei solcher Fünfecke liegt die Winkelsumme noch unter 360 Grad, bei vier übersteigt sie die Grenze – weitere Platonische Körper aus Fünfecken sind also ausgeschlossen.
    Aber es gibt ja nicht nur Dreiecke, Quadrate und Fünfecke. Wie sieht es mit regelmäßigen Sechsecken aus? Ihre Innenwinkel sind genau 120 Grad groß. Drei an den Ecken zusammengelegte Sechsecke lassen deshalb keine Lücke – sie bedecken die Ebene komplett – siehe Zeichnung rechts. Dadurch kann auch keine räumliche Ecke entstehen, die man bei Platonischen Körpern zwangsläufig braucht.
    Würfel
    Dodekaeder
    Körper aus Sechsecken
    Beim regelmäßigen Siebeneck entsteht erst recht keine Lücke – im Gegenteil. Die Innenwinkel bei ihm sind größer als 120 Grad. Legt man drei Siebenecke in der Ebene an den Ecken zusammen, entsteht eine Überlappung – ein räumlicher Körper kann so erst recht nicht entstehen. Und diese Aussage gilt für alle regelmäßigen n-Ecke ab n   =   7.
    Damit haben wir mit einem Bastelbogentrick gezeigt, dass es nicht mehr als die fünf bekannten Platonischen Körper geben kann. Der Beweis ist schon etwas schwieriger zu verstehen als etwa beim Satz des Pythagoras. Aber er fordert unser räumliches Denken heraus und nutzt elementare Erfahrungen im Umgang mit Papier und Leim, die wir schon als Kind gemacht haben. Deshalb gefällt mir der Beweis auch so gut.
    Als ich kürzlich nahe Kopenhagen das Museum für Moderne Kunst in Arken besucht habe, kamen mir allerdings kurz Zweifel, ob es nicht vielleicht doch noch mehr Platonische Körper gibt. Schauen Sie sich das Foto auf der nächsten Seite einmal genau an.

    Das Klettergerüst, das aus regelmäßigen Sechsecken zusammengesetzt scheint, steht als Kunstwerk neben dem Museum. Es stammt von dem Isländer Olafur Eliasson. Die Sechsecke bilden ein Stück der Oberfläche einer Kugel, die größtenteils unter der Erde