Je mehr Löcher, desto weniger Käse

  9. Aber nur im Fall 2, 2, 9 gibt es einen ältesten Sohn, bei 1, 6, 6 sind die beiden ältesten Jungen gleich alt. Also muss die Lösung 2, 2, 9 lauten.
2. Systematisch vorgehen
    Das Beispiel der Mathematiker-Söhne zeigt: Es kann sich lohnen, einfach mal alle denkbaren Kombinationen aufzuschreiben und sich jede einzeln anzuschauen. Dieses systematische Vorgehen funktioniert natürlich nicht immer. Vor allem wenn die Zahl der Kombinationen sehr groß ist, wird eine andere Lösungstechnik eleganter zum Ziel führen.
    Wer ein Problem systematisch analysiert, kann jedoch oft sogar eine scheinbar ausufernde Zahl von Kombinationen aufwenige reduzieren. Exemplarisch zeigt dies die folgende Aufgabe:
    Die natürlichen Zahlen von 1 bis 15 sollen so in einer Reihe aufgeschrieben werden, dass jede der fünfzehn Zahlen genau einmal vorkommt und die Summe je zweier benachbarter Zahlen eine Quadratzahl ist. Bestimmen Sie alle Möglichkeiten!
    Puuh, das sieht schwierig aus, war mein erster Gedanke. 15 Zahlen hintereinander – da gibt es ziemlich viele Möglichkeiten. Immerhin sollen zwei benachbarte Zahlen zusammen eine Quadratzahl bilden. Da stellt sich natürlich die Frage: Welche Zahlen passen zusammen, können also nebeneinanderstehen? Die 1 zum Beispiel passt zur 3 (3   +   1   =   2 2 ), zur 8 (8   +   1   =   3 2 ) und zur 15 (15   +   1   =   4 2 ). Die 2 harmoniert mit der 7 und der 14.
    Am besten, wir schauen uns das mal ganz genau an – in einer eigens dafür entworfenen Tabelle. Womöglich liefert uns das ja entscheidende Hinweise.

    Interessant ist, dass fast alle Zahlen zwei Partner haben, die 1 und die 3 sogar drei. Nur die 8 und die 9 fallen mit jeweils nur einem Partner aus der Reihe. Und das macht sie für uns interessant. Denn wenn die 8 und die 9 nur einen möglichen Partner haben, dann können sie nicht irgendwo in der Mitte der Reihe stehen. Sie hätten dann ja einen Vorgänger und einen Nachfolger, also zwei Partner. Für beide gibt es aber jeweils nur einen Partner. Für die 8 und die 9 kommen daher nur zwei Positionen infrage: der Anfang und das Ende der Reihe.
    Damit ist die Aufgabe schon so gut wie gelöst, wie wir gleich sehen werden. Die Reihe beginnt entweder mit der 8 oder der 9. Wir schauen uns zuerst mal die Variante 8 an und schreiben auf, welche Folgen damit möglich sind. Wenn die erste Zahl die 8 ist, ist die zweite zwingend eine 1. Der Blick in die Tabelle oben verrät, dass nach der 1 die 3, die 8 oder die 15 infrage kommen. Die 8 scheidet aus, denn damit beginnt die Reihe ja. Bleiben also 3 und 15.
    Wenn wir die 3 wählen, sind als vierte Zahl entweder 6 oder 13 möglich (1 ist schon vergeben). Diese beiden Varianten setzen wir dann mit dem eben beschriebenen Verfahren als Reihe fort, beide führen jedoch zu keiner Lösung:
    8, 1, 3, 6, 10, 15, 1 (1 ist doppelt!)
    8, 1, 3, 13, 12, 4, 5, 11, 14, 2, 7, 9 (Reihe ist zu kurz!)
    Wenn wir als dritte Zahl statt der 3 eine 15 schreiben, dann bekommen wir eine richtige Lösung:
    8, 1, 15, 10, 6, 3, 13, 12, 4, 5, 11, 14, 2, 7, 9
    Weil wir diese Folge natürlich auch umdrehen können, also statt der 8 mit der 9 beginnen, gibt es genau zwei Lösungen. Damit ist die Aufgabe gelöst.
    Bei diesem Rätsel, das haben Sie sicher bemerkt, ist Gründlichkeit gefragt. Man muss wirklich alle Varianten berücksichtigen. Ein solches systematisches Vorgehen kann man in der Mathematik lernen – und es hilft einem auch im Alltag oder im Beruf immer wieder.

3. Social Engineering
    Manchmal sitze ich an einer Knobelaufgabe, von der ich fürchte, dass sie womöglich unüberschaubar viele Lösungen haben könnte. Dann denke ich zumindest für einen Moment genau wie ein Schulkind bei einer Kapitänsaufgabe. Da muss es doch eine Lösung geben, sonst hätte der Lehrer mir diesen Text ja nicht gegeben. Was ich damit meine, zeigt die folgende Aufgabe:
    Finden Sie alle zehnstelligen Primzahlen, die jede der zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 enthält.
    Was wissen wir? An erster Stelle darf keine 0 stehen, sonst wäre die Zahl nur neunstellig. Und an letzter Stelle muss zwingend eine ungerade Zahl stehen, damit die Zahl nicht durch zwei teilbar ist – schließlich suchen wir ja Primzahlen. Wenn wir jetzt anfangen, alle denkbaren Ziffernkombinationen aufzuschreiben, haben wir viel zu tun.
    Der Weg zur Lösung muss ein anderer sein, das ist klar. Die Frage ist: Wie viele Lösungen kann es überhaupt geben? Eine, zehn, hundert? Ich wusste an dieser Stelle