Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Holger Dambeck

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× … × p n + 1
    Diese Zahl ist ebenfalls eine natürliche Zahl. Allerdings ist sie durch keine der n Primzahlen teilbar, sie lässt bei der Division vielmehr immer den Rest 1. Um noch einmal das Beispiel 2, 3, 5 aufzugreifen: 2 × 3 × 5 + 1 = 31. Die Zahl 31 ist weder durch 2, 3 noch durch 5 teilbar.
    Was folgt aus den Überlegungen? Weil p 1 × p 2 × p 3 × … × p n + 1 durch keine der n Primzahlen teilbar ist, muss diese Zahl selbst eine Primzahl sein, die nicht in p 1 , p 2 , p 3 , …, p n enthalten ist – oder sie ist das Produkt mehrerer Primzahlen, die nicht zu den n vorgegebenen Primzahlen gehören.
    Das widerspricht jedoch unserer Annahme, dass nur n Primzahlen existieren. Also ist die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt, falsch. Wir haben ja gerade gezeigt, wie man aus n Primzahlen quasi eine weitere Primzahl konstruiert. Das bedeutet wiederum, dass es unendlich viele davon gibt. Damit ist der Satz bewiesen.
    Die Kürze dieses Beweises beeindruckt mich immer wieder. Seine Eleganz besteht darin, dass man sich nicht etwa mit unendlich vielen Primzahlen herumschlägt, was ja ohnehin unmöglich ist. Vielmehr zeigen wir in zwei Zeilen, nämlich
    p 1 × p 2 × p 3 × … × p n
    und
    p 1 × p 2 × p 3 × … × p n + 1,
    dass es nicht nur endlich viele Primzahlen geben kann. Das ist sehr geschickt!

Der Satz des Pythagoras
    Der nächste elegante Beweis kommt aus der Geometrie: Es geht um den Satz des Pythagoras. Sie kennen ihn sicher noch aus der Schule. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt
    a 2 + b 2 = c 2
    Dabei sind a und b die Katheten, also die Seiten, die den rechten Winkel bilden, c ist die sogenannte Hypotenuse.
    Es ist übrigens nicht geklärt, ob der Namensgeber Samos von Pythagoras die berühmte Gleichung a 2 + b 2 = c 2 ganz allein entdeckt und bewiesen hat oder ob er zumindest die Gleichung aus anderen Quellen kannte. Denn schon die alten Babylonier wussten von der Formel und wendeten sie an.
    Wie dem auch sei: Für den Klassiker existieren viele verschiedene Beweise. Eine Variante, die mir besonders gut gefällt, möchte ich hier vorstellen. Sie basiert allein auf den Flächenformeln für Quadrat und Dreieck.
    Ich nehme das rechtwinklige Dreieck gleich vier Mal und lege die vier Dreiecke wie in der Zeichnung links zu sehen zu einem Quadrat zusammen. Die vier Hypotenusen der Länge c bilden die Kanten des Quadrats. Die längere der beiden Katheten nennen wir b, die kürzere a.

    Zunächst die Frage: Passen die vier Dreiecke tatsächlich so lückenlos zusammen, wie in der Zeichnung zu sehen? Um das zu prüfen, müssen wir die Summe der beidenWinkel 1) und 2) berechnen – schließlich müssten sie gemeinsam genau 90 Grad ergeben, um die Ecke eines Quadrats zu bilden.
    In unserem rechtwinkligen Dreieck gilt wie in allen Dreiecken, dass die Summe der Innenwinkel 180 Grad ergibt. Also gilt
    1) + 2) + 90° = 180°
    Daraus folgt, wenn wir auf beiden Seiten 90 Grad abziehen:
    1) + 2) = 90°
    Es stimmt also, die Dreiecke passen, wie in der Zeichnung zu sehen, ohne Lücke und ohne Überlappung zusammen.
    Jetzt berechnen wir die Fläche des Quadrats – und zwar einmal über die Kantenlänge c und einmal als Summe der Fläche der vier rechtwinkligen Dreiecke (in der Zeichnung grau) plus der Fläche des weißen, nach links geneigten Quadrats in der Mitte mit der Seitenlänge b – a. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt ab/2.


    Mit der binomischen Formel (b – a) 2 = a 2 + b 2 – 2ab ergibt sich daraus:


    Fertig ist der Beweis! Wir haben nicht mehr getan, als vier Dreiecke in der Ebene geschickt zusammengelegt und Flächen berechnet.
    Tetraeder
Streng platonisch
    Bislang haben wir uns mit zweidimensionalen Problemen beschäftigt. Beim nächsten Problem verlassen wir die Ebene und begeben uns in den dreidimensionalen Raum. Sie haben sicher schon einmal von den Platonischen Körpern gehört. Dazu gehören unter anderem das Tetraeder, eine dreieckige Pyramide, und der Würfel.
    Hexaeder
    Platonische Körper sind aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut. Das sind zum Beispiel gleichseitige Dreiecke wie beim Tetraeder oder Quadrate wie beim Würfel. Zudem ist die Zahl der abgehenden Kanten an jeder Ecke gleich. Es gibt nur fünf verschiedene Platonische Körper. Ihre