Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Holger Dambeck

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Streichhölzer ein Quadrat bilden, wären Diagonalen die Lösung – aber dafür sind die Hölzer zu kurz. Und ein regelmäßiges Sechseck hilft auch nicht weiter, weil dabei an jeder Ecke immer nur zwei Hölzer zusammentreffen.
    Ahnen Sie die Lösung? Wir müssen uns einfach von der Ebene lösen. Das fällt uns jedoch schwer, weil wir es gewöhnt sind, mit Streichhölzern auf dem Tisch zu spielen. Im dreidimensionalen Raum ist das Problem schnell gelöst. Wenn die sechs Streichhölzer die Seitenkanten eines Tetraeders bilden, also einer dreiseitigen Pyramide, sind die Bedingungen der Aufgabe erfüllt.

    Bei der folgenden, wie ich finde besonders hübschen Knobelaufgabe des amerikanischen Rätselerfinders Martin Gardner ist ein ganz besonderer Trick gefragt.
    Ein Mann hat zwei Holzwürfel, mit denen er den Tag eines Monats von 01 bis 31 darstellen kann. Welche Ziffern stehen auf den Seiten der beiden Würfel?
    Die Analyse des Problems ist relativ leicht: Auf jeden Würfel passen nur sechs Ziffern, also muss man die Ziffern von 0 bis 9 über beide Würfel verteilen. Fragt sich bloß wie. Die Tage eines Monats beginnen mit 01 und gehen bis 31. Es gibt alsoauf jeden Fall eine 11 und eine 22 – also müssen die 1 und die 2 auf beiden Würfeln vorkommen.
    Wir brauchen jedoch auch die 0 auf beiden Würfeln, um alle Tage von 01, 02, … bis 08, 09 darstellen zu können. Der Grund dafür ist simpel: Es gibt neun Ziffern von 1 bis 9, und auf einen Würfel passen nur sechs verschiedene. Also müssen die neun Ziffern über beide Würfel verteilt sein – und für die Anzeige von 01 bis 09 braucht man dann auch auf beiden Würfeln eine 0.
    D ie Mathematik ist die Kunst, völlig unterschiedlichen Dingen den gleichen Namen zu geben.
Henri Poincaré (1854–1912), französischer Mathematiker
    0, 1, 2 – damit sind auf beiden Würfeln schon drei Seiten belegt. Sechs der insgesamt zwölf Seiten sind noch frei – dummerweise sind aber noch sieben Ziffern übrig. Wenn wir zum Beispiel den ersten Würfel mit 0, 1, 2, 3, 4, 5 und den zweiten mit 0, 1, 2, 6, 7, 8 beschriften, ist die 9 nicht untergebracht.
    Was nun? Gibt es womöglich gar keine Lösung? Doch, es gibt eine, und wir haben sie sogar schon aufgeschrieben. Wenn wir eine 9 brauchen, stellen wir die 6 einfach auf den Kopf – und damit ist das Rätsel des Würfelkalenders gelöst.
5. Indirekt beweisen
    Das Prinzip des indirekten Beweises kennen Sie schon aus dem vorherigen Kapitel von den unendlich vielen Primzahlen. Ich möchte es hier noch einmal an einem ganz anderen Beispiel demonstrieren. Es geht dabei um rationale und irrationale Zahlen. Eine rationale Zahl können wir stets als Bruchzweier ganzer Zahlen darstellen, also r = p/q. Bei einer irrationalen Zahl geht das nicht. Die bekannteste irrationale Zahl ist die Kreiszahl Pi. Aber auch die Quadratwurzel aus 2 ist irrational, und das wollen wir jetzt indirekt beweisen.
    Satz: Die Quadratwurzel aus 2 ist irrational.
    Wir nehmen an, dass der Satz nicht stimmt, also die Wurzel aus 2 rational ist.


    m und n sind dabei ganze Zahlen, der Bruch m/n soll nicht weiter kürzbar sein. Nun quadrieren wir beide Seiten und multiplizieren anschließend mit n 2 :


    Die letzte Gleichung besagt, dass m 2 durch 2 teilbar ist, was jedoch nur möglich ist, wenn m selbst eine gerade Zahl ist. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist nämlich stets ungerade. Wir können m also in der Form m = 2 k schreiben, wobei k eine ganze Zahl ist. Das setzen wir nun wieder in die letzte Gleichung ein:
    4 k 2 = 2 n 2
    2 k 2 = n 2
    Damit diese Gleichung stimmt, muss wiederum auch n durch 2 teilbar sein. Das bedeutet: Sowohl m als auch n sind durch 2teilbar. Das ist jedoch ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass m/n ein nicht kürzbarer Bruch ist!
    S atz: Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweis: Wir gehen indirekt vor, nehmen also das Gegenteil an. Dann muss es eine kleinste uninteressante natürliche Zahl geben. Das macht sie interessant – ein Widerspruch zur Annahme.
    Also ist unsere Annahme falsch und die Wurzel aus 2 tatsächlich eine irrationale Zahl. Vielleicht kommt Ihnen der Beweis seltsam vor, aber er funktioniert. Fest steht: Bei vielen Problemen erleichtert das indirekte Vorgehen die Arbeit.
6. Domino-Methode
    Wenn es um Aussagen geht, die für alle natürlichen Zahlen n zutreffen, kann die vollständige Induktion das Mittel der Wahl sein. Ich werde sie allerdings lieber Domino-Methode nennen,