Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

begründet, dass man für den Umfang in diesem Fall 4 + 7 + 4 + 7 = 22 rechnet, während man beim Zählen der grau markierten Felder nur auf 18 kommt, da in diesem Fall die Ecken nicht doppelt gezählt werden.

    Diese Eigenschaft, dass der Umfang immer um 4 größer ist als die Zahl der Randflächen, ist unabhängig von der Form des Rechtecks. Daraus kann man schließen, dass ein Rechteck genau dann die gleichen Zahlen für Umfang und Flächeninhalt hat, wenn im Inneren vier weitere Quadrate sind.
    Um alle Möglichkeiten für die Leinwand des Malers zu finden, muss man sich nur überlegen, welche Varianten es gibt, diese vier Quadrate so anzuordnen, dass sie zusammen mit dem Rand ein Rechteck bilden. Hierfür gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder alle vier Quadrate in einer Reihe oder als Quadrat der Größe 2 · 2. Zusammen mit dem Rand erhält man ein Rechteck der Größe 3 · 6 beziehungsweise ein Quadrat der Größe 4 · 4. Beide erfüllen die geforderte Eigenschaft.

    Kürzer – aber auch sehr viel formaler – kann man die Frage mit einer Gleichung angehen. Gehen wir davon aus, dass das gesuchte Rechteck eine Länge a und eine Breite b besitzt. Dann beträgt die Fläche a · b und der Umfang 2 · (a + b). Da Fläche und Umfang gleich sein sollen, muss man die Gleichung a · b = 2 · (a + b) lösen. Diese Gleichung kann man leicht umformen zu (a – 2)(b – 2) = 4. Das heißt, dass sowohl die Zahl a – 2 als auch die Zahl b – 2 ein Teiler von 4 sein muss; dafür gibt es nur die Möglichkeiten 1, 2, 4. Daraus erhält man schnell dieselben Möglichkeiten wie in der zuerst beschriebenen Variante.

Der Jäger
    Ein Jäger bricht am Morgen auf und geht genau einen Kilometer nach Süden. Dann geht er einen Kilometer nach Westen und dann wieder genau einen Kilometer nach Norden. Oh Wunder – er ist wieder an seinem Ausgangspunkt angelangt!
    Hier bleibt er stehen und schießt einen Bären. Welche Farbe hat der Bär?

    Tipp: Um wieder am gleichen Punkt anzukommen, kann der Jäger an vielen Ausgangspunkten starten.
    Die Lösung: Eine Möglichkeit ist, dass der Jäger am Nordpol startet. Er geht einen Kilometer nach Süden und dann nach Westen. Dabei bleibt er immer einen Kilometer vom Nordpol entfernt. Wenn er dann wieder einen Kilometer nach Norden geht, kommt er wieder am Nordpol an.
    Die anderen möglichen Ausgangspunkte liegen in der Nähe des Südpols. Dazu stellen wir uns denjenigen Breitenkreis in der Nähe des Südpols vor, der genau einen Kilometer lang ist. Wenn der Jäger genau einen Kilometer nördlich davon startet, kommt er nach einem Kilometer auf diesen Breitenkreis, läuft auf diesem einmal herum und dann auf dem Weg, mit dem er begonnen hat, wieder nach Norden.
    Wenn er einen Bär sieht und schießt, muss dieser ein Eisbär sein; diese gibt es nur in der Arktis. In jedem Fall ist das Fell des Bären weiß.

8.
Teilbarkeit

Verrechnet!
    Ein Buchhalter gibt gerne mit seinen Rechenkünsten an. Besonders eindrucksvoll ist es, wenn er sofort sagen kann, ob eine Rechnung stimmt, obwohl er nur das Ergebnis und nicht die Ausgangszahlen kennt.
    Er stellt folgende Aufgabe: Man notiert eine beliebige vierstellige Zahl. Dann setzt man die erste Ziffer ans Ende der Zahl, sodass man eine weitere vierstellige Zahl erhält. Schließlich werden beide Zahlen addiert. Ein Beispiel: 1234 + 2341 = 3575.
    Dem Buchhalter werden die Ergebnisse der Rechnungen von drei Personen genannt: 8612, 4322 und 9867. Schon nach kurzem Überlegen weiß er, dass nur das dritte Ergebnis richtig sein kann und die beiden Ersten sich verrechnet haben müssen. Wie hat der Buchhalter das herausbekommen?

    Tipp: Der Buchhalter ist gut im Kopfrechnen. Mit einem Taschenrechner lässt sich die Richtigkeit der Ergebnisse meist noch schneller feststellen.
    Lösung: Der Buchhalter überprüft die Ergebnisse daraufhin, ob sie ohne Rest durch 11 teilbar sind. Ist das der Fall, dann wurde sehr wahrscheinlich richtig gerechnet. Bleibt jedoch ein Rest, dann ist in der Rechnung ein Fehler passiert.
    Denn jedes Ergebnis einer Rechnung nach dem oben genannten Verfahren muss durch 11 teilbar sein.
    Das kann man sich so verdeutlichen: Die gedachte, vierstellige Zahl kann man sich allgemein als „abcd“ vorstellen. Mathematisch schreibt man das 1000a + 100b + 10c + d, denn a istdie Tausenderziffer, b die Hunderterziffer, c die Zehnerziffer und d die Einerziffer. Diejenige Zahl, bei der die erste Ziffer ans Ende gestellt wurde, ist dementsprechend