Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

Teil des Seils liegt parallel zu den ursprünglichen Kanten des Feldes. Hierfür werden 346 Meter des Seils benötigt. Nur ein einziger Meter des Seils kann für die Erweiterungen an den Ecken benutzt werden. Da das Seil überall mit dem gleichen Abstand zum Feld ausgelegt werden soll, sind an jeder Ecke zwei Seilstücke mit dem gesuchten Abstand zusätzlich nötig. An allen Ecken zusammen somit insgesamt acht Seilstücke dieser Länge. Der zusätzliche Meter des Seils wird somit auf acht gleich lange Stücke à 12,5 Zentimeter aufgeteilt. Obwohl es nur ein einziger zusätzlicher Meter Seil war, passt in die Lücke zwischen Spielfeld und Seil problemlos ein Fußballschuh hinein!

Seil um den Äquator
    Der Äquator der Erde ist etwa 40 000 Kilometer lang. Stellen Sie sich vor, dass wir ein Seil um den Äquator legen, sodass es dicht auf der Erdoberfläche aufliegt. Dieses etwa 40 000 Kilometer lange Seil verlängern wir jetzt um genau einen Meter. Dann halten wir das Seil so, dass es überall den gleichen Abstand von der Erdoberfläche hat. Frage: Wie weit wird es von der Erdoberfläche abstehen? (a) etwa 0,16 mm, (b) etwa 16 mm, (c) etwa 16 cm?

    Tipp: Schauen Sie sich die Aufgabe mit dem Fuß ballfeld an.

    Lösung: Es gibt eine Formel, die den Umfang und den Radius eines Kreises miteinander verbindet. Wenn wir den Umfang mit u und den Radius mit r bezeichnen, dann gilt u = 2
p
·r. Dabei ist
p
die „Kreiszahl“, also
p
= 3,14…
    Wir stellen uns vor, dass u die Länge des Äquators und r der Radius der Erde ist.
    Nun sei U der um einen Meter vergrößerte Umfang, und R der Radius, den das verlängerte Seil hat. Dann gilt entsprechend U = 2
p
·R.
    Jetzt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab. Wir erhalten
    U – u = 2
p
·R – 2
p
·r = 2
p
·(R – r),
    also zusammengefasst
    U – u = 2
p
·(R – r).
    Auf der linken Seite steht U – u, also die Länge des verlängerten Seils minus die Länge des Originalseils; das ist genau ein Meter. Auf der rechten Seite steht neben 2
p
die Differenz R – r, und das ist genau der Abstand des Seils. Den können wir jetzt ausrechnen:
    R – r ist ein Meter geteilt durch 2
p
, also 1 geteilt durch 6,28. Dabei ergibt sich etwa 0,16 Meter, das heißt 16 cm.

    Die Kreiszahl ϖ (sprich: Pi) gibt das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises an. Sie beträgt näherungsweise 3,14159 … Das bedeutet, dass ein Kreis mit einem Durchmesser von einem Meter einen Umfang von ungefähr 3,14 m hat. Pi ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht in Form eines Bruches aufgeschrieben werden kann. Ebenfalls kann es nicht sein, dass sich die Ziffern ab einer gewissen Stelle periodisch wiederholen. Noch heute wird an der Zahl Pi geforscht: So gibt es einen Wettlauf im Berechnen von möglichst vielen Nachkommastellen der Zahl. Bisher wurden bereits mehrere Billionen Nachkommastellen bestimmt.

Der optimale Spiegel
    Wie groß muss ein Spiegel mindestens sein, in dem Sie sich ganz sehen können? Lohnt es sich, nach hinten zu treten, damit Sie sich von Kopf bis Fuß sehen können?

    Tipp: Wie wird Licht, das in einen Spiegel ein fällt, zurückgeworfen?
    Lösung: Man kennt das Problem aus dem Badezimmer. Wenn zwei Personen gleichzeitig in den Spiegel schauen wollen, führt das meistens zu Komplikationen: Nur wenn man vor dem Spiegel steht, kann man sich sehen. Steht man nur wenig neben dem Spiegel und schaut hinein, so kann man sich nicht sehen. Das liegt an einer physikalischen Gesetzmäßigkeit: Der Winkel, unter dem das Licht in den Spiegel einfällt, ist gleich dem Winkel, unter dem das Licht reflektiert wird.
    Mithilfe der Geometrie kann man daraus den kleinstmöglichen Spiegel bestimmen, in dem man sich ganz sehen kann. Stellen wir uns einen 180 Zentimeter großen Menschen vor. Die Augen seien in 170 Zentimeter Höhe. Um aus Augenhöhe auf die Füße am Boden zu schauen, blickt man schräg nach unten auf den Spiegel. Die Füße sieht man aufgrund der Eigenschaften des Reflexionsgesetzes genau auf halber Höhe zwischen dem Fußboden und dem Auge, also bei 85 Zentimeter Höhe.
    Ähnlich ist es bei einem Blick zum Haaransatz. Dazu blickt man ein wenig nach oben, sodass man das obere Ende des Kopfes auf 175 Zentimetern Höhe, also ebenfalls genau in der Mitte zwischen Augenhöhe und betrachteter Körperstelle sieht. Der Spiegel muss also mit der Unterkante bei 85 Zentimeternangebracht sein und bis 175 Zentimeter Höhe reichen. Das macht eine Höhe von 90