Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

Zentimetern und damit genau die Hälfte der Körpergröße des Betrachters.
    Der optimale Spiegel muss also genau halb so hoch sein wie die Person, die sich betrachten will. Außerdem muss der Spiegel mit der Unterkante auf der Hälfte der Augenhöhe angebracht sein.
    Das gilt unabhängig davon, wie weit man vom Spiegel entfernt steht. Man blickt zwar bei größerer Entfernung unter einem anderen Winkel auf den Spiegel, aber es gilt weiterhin, dass der Winkel des einfallenden Lichts und der des reflektierten Lichts gleich groß sind.

Warum Kühe gern im Halbkreis grasen
    Sie haben geerbt. Ihr Großvater hat Ihnen verschiedene Objekte hinterlassen: zunächst eine Wiese, die eine ganz spezielle Form hat, nämlich die eines Halbkreises (also eine Kreisfläche, der in der Mitte durchgeschnitten ist, und davon die eine Hälfte). Wir stellen uns die gerade Grenze vorne vor; Ihr Grundstück weitet sich dann halbkreisförmig nach hinten.
    Außerdem hat Ihr Großvater Ihnen eine Kuh hinterlassen; diese Kuh soll das Gras der halbkreisförmigen Wiese fressen – allerdings nicht mehr und nicht weniger.
    Um das zu gewährleisten, hat Ihnen Ihr Großvater noch ein paar mysteriöse Gegenstände vererbt: drei hölzerne Pfosten, relativ viel Seil, einen Ring und eine Schere.
    Die Frage ist: Wie können Sie die Kuh – mithilfe dieser Gegenstände – so anseilen, dass sie genau die halbkreisförmige Wiese, nicht weniger, aber auch kein bisschen mehr abfrisst?

    Tipp: Manchmal ist es gut, ein komplexes Problem in einfachere Teilprobleme zu zerlegen: Wie können Sie gewährleisten, dass die Kuh nur ein kreisförmiges Stück abfrisst? Und wie können Sie erreichen, dass eine gerade Linie als Fressgrenze respektiert?
    Lösung: Wenn die Wiese ein vollständiger Kreis wäre, dann wäre die Sache einfach. Sie würden die Kuh an einem Pflock anbinden, der genau im Mittelpunkt des Kreises steckt. Wenn das Seil so lang ist wie der Radius, kann die Kuh genau die Kreisfläche abgrasen.
    Das ist zwar noch nicht die ganze Lösung, aber die halbe. Sie binden die Kuh auf jeden Fall im Mittelpunkt des Halbkreises an.
    Jetzt müssen Sie nur noch dafür sorgen, dass die Kuh nicht den verbotenen Halbkreis abfrisst.
    Dazu spannen Sie ein Seil parallel zur geraden Grenze der Wiese, und zwar nach hinten versetzt, sodass das Seil genau den Halbkreis noch berührt. Dazu verwenden Sie die anderen beiden Pfosten. Auf diesem gespannten Seil befindet sich auch der Ring, der auf diesem frei hin- und hergeschoben werden kann. Schließlich befestigen Sie an dem Ring ein weiteres Seil, das genauso lang wie der Radius ist, und binden die Kuh am anderen Ende an. Dann kann sie nie über die gerade Grenze hinausgelangen.

Der runde Tisch
    Zwei Spieler spielen an einem runden Tisch. Sie legen abwechselnd gleich große Münzen auf den Tisch. Diese dürfen nicht übereinanderliegen. Wer als Erster keinen Platz mehr findet, hat verloren. Kann der erste Spieler einen Sieg erzwingen?

    Lösung: Der erste Spieler legt seine erste Münze genau in die Mitte des Tisches. Anschließend antwortet er auf jeden Zug seines Gegners so, dass seine Münze so liegt, dass er die Münze des Gegners „am Mittelpunkt spiegelt“. Das bedeutet: Wenn man seine Münze und die Münze, die der Gegner unmittelbar zuvor gelegt hat, durch eine Strecke verbindet, dann ist der Mittelpunkt dieser Strecke genau der Mittelpunkt des Tisches. Da der erste Spieler auf jeden Zug seines Gegners reagieren kann, wird er nicht die letzte Münze legen. Also gewinnt er!

    Zusatzfrage: Funktioniert diese Strategie auch bei rechteckigen Tischen?

Faires Stromsparen
    Um einen quadratischen Platz herum stehen 20 Lampen in gleichmäßiger Anordnung, je eine an den vier Ecken und jeweils vier dazwischen. An jeder Seite stößt ein Grundstück an den Platz, das daher von jeweils sechs Lampen beschienen wird. Aufgrund steigender Energiepreise soll ein Viertel der Energiekosten eingespart und daher fünf Lampen abgeschaltet werden.
    Kann man die fünf abzuschaltenden Lampen so auswählen, dass alle Grundstücke auch anschließend von gleich vielen Lampen beschienen werden?

    Tipp: Welche Lampen stehen nur vor einem Grundstück? Welche sind für die Beleuchtung von mehreren Grundstücken zuständig?

    Lösung: Die Lampen an den Ecken bescheinen jeweils zwei Grundstücke. Alle anderen stehen jeweils nur vor einem Grundstück. Schaltet man alle Ecklampen ab, so würde durch das Abschalten der fünften Lampe eine Seite