Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

auf einem schwarzen Feld, so sind alle Felder, die er bei einem Sprung erreichen kann, weiß. Da ein Springer in einem Zug somit immer auf ein Feld der anderen Farbe wechselt (von Schwarz nach Weiß oder von Weiß nach Schwarz), können sich insbesondere Springer, die auf Feldern gleicher Farbe stehen, nicht schlagen.
    Stellt man 32 Springer auf die 32 schwarzen Felder, so kann keiner der Springer einen anderen in einem Zug schlagen!

    Zusatzaufgabe: Ist es möglich, dass die so aufgestellten Springer alle so ziehen, dass am Schluss jeder auf einem anderen weißen Feld steht?

Wer erreicht zuerst 100?
    Wir machen zusammen ein Spiel. Sie gegen mich. Und das geht so: Wir nennen abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 9. Diese Zahlen werden der Reihe nach addiert.
    Zum Beispiel könnten Sie zuerst „3“ sagen, dann sage ich vielleicht „6“; zusammen ergibt das 9. Dann sagen Sie „5“, und wir erhalten als Summe 14 und so weiter.
    Das Ziel ist, 100 zu erreichen. Wer mit seiner Zahl als Erster 100 erreicht hat, gewonnen.

    Frage: Ist es für Sie besser, wenn Sie anfangen dürfen, oder würden Sie lieber mir den Vortritt lassen?

    Tipp: Wie könnten Sie sicher gewinnen, wenn der gewinnt, der zuerst 10 erreicht?
    Lösung: Wenn der Gegner anfängt, können Sie garantiert gewinnen!
    Und das sieht man so: Angenommen, nach Ihrem vorletzten Zug haben Sie die Zahl 90 erreicht. Dann kann ich jede Zahl sagen, die ich will – ich werde die 100 nicht erreichen, aber Sie können in jedem Fall zu 100 ergänzen. Wenn ich zum Beispiel „3“ sage, sagen Sie „7“.
    Wie können Sie 90 erreichen? Klar, wenn Sie bei Ihrem Zug vorher genau 80 erreicht haben, dann kann ich mich anstrengen, so viel ich will, ich werde nie 90 erreichen, aber Sie können immer Ihre Zahl so wählen, dass Sie 90 erreichen.
    Und so weiter. Sie müssen also versuchen, irgendwann einmal eine dieser „magischen Zahlen“ 10, 20, 30 … 90 zu erreichen. Wenn Sie eine haben, sind Sie drin. Und am besten machenSie das gleich zu Anfang. Ich sage etwas, und Sie ergänzen auf 10.
    Merke: Manchmal ist es gut, erst einmal den anderen eine Vorgabe machen zu lassen.

    Variante: Wir spielen das gleiche Spiel, dürfen aber nur Zahlen zwischen 1 und 4 nennen. Welches sind hierbei die „magischen Zahlen“?

    Ähnliche Varianten empfehlen sich, wenn Sie das Spiel mehrfach mit anderen durchführen wollen. Lernen Sie eine Folge von magischen Zahlen auswendig, die nicht so auffällig ist, damit Ihre Taktik nicht sofort auffliegt.

Der Teufel am Roulettetisch
    Der Teufel bietet Ihnen am Roulettetisch folgende Wette an: „Du suchst dir eine Folge von drei Farben (rot/schwarz) aus, also zum Beispiel rot – schwarz – rot. Dann suche ich mir eine Folge von drei Farben aus. Dann lassen wir die Kugel rollen, und zwar so lange, bis eine unserer Folgen realisiert ist. Derjenige, dessen Folge zuerst kommt, hat gewonnen.“ Ist diese Wette fair?

    Lösung: Nein – derjenige, der die Folge des anderen kennt, bevor er sich seine eigene aussucht, hat bessere Chancen. Er wird eine Folge wählen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit direkt vor der anderen auftritt.Wenn Sie zum Beispiel rot – rot – rot gewählt haben, wird der Teufel, vermutlich, die Folge schwarz – rot – rot wählen. Gut, wenn die Roulettekugel bei den ersten drei Versuchen jeweils auf rot landet, haben Sie gewonnen. In allen anderen Fällen wird die Folge rot – rot – rot nach schwarz erscheinen. Also kommt garantiert der Teufel vor Ihnen zum Zug! Wir können das auch mit Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. Wir nehmen an, dass die Roulettekugel die Farben rot und schwarz jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 trifft. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Folge rot – rot – rot gleich 1/2·1/2·1/2 = 1/8. Der Teufel gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/8, das heißt in 87,5 Prozent aller Fälle.
    Spielen wir noch einen Fall durch. Angenommen, Sie wählen die Folge rot – rot – schwarz. Dann setzt der Teufel schwarz – rot – rot dagegen – und gewinnt in 75 Prozent aller Fälle. Und zwar aus folgendem Grund: Angenommen, die Kugel fällt die ersten beiden Male auf rot. Dann gewinnen Sie garantiert, denn die Kugel könnte noch ein paarmal auf rot fallen, aber irgendwann fällt sie auf schwarz. Und dann ist die Folge rot – rot – schwarz realisiert, und zwar bevor die Folge schwarz – rot – rot realisiert ist. Die Wahrscheinlichkeit für zweimal rot hintereinander ist 1/2·1/2 = 1/4. In