Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

ausgesprochen.» Tre-og-forti (43) ist nun forti-tre. Der Hauptgrund für die Reform wurde auch explizit gemacht: Sie war als pädagogische Hilfeleistung für die Schulanfänger gedacht.
    Übrigens, schon 1520 hatte der deutsche Rechenmeister Jakob Köbel sich in seinem Rechenbuch dafür starkgemacht, die Zahlen unverdreht auszusprechen. Dass sein Vorschlag sich nach 500 Jahren immer noch nicht durchsetzen konnte, deutet auf starken und ununterbrochenen Widerstand gegen diese an sich gute Idee.
Zahlensprech-Export
Obwohl Adam Riese das Buch von Jakob Köbel sehr schätzt, übernimmt er nicht die von Köbel vorgeschlagene Zahlensprechweise, sondern schlägt eine noch radikalere Variante vor: 9876 sollte gesprochen werden als neuntausendachthundertsiebenzehnsechseins. Diese Form setzte sich in Deutschland nicht durch, wohl aber in einigen anderen Ländern wie etwa Japan und China.
137. Mate [ 2 ]
    In diesem Abschnitt findet Erstklassiges zueinander und bildet einen Wissensverbund: Musik und Mathematik. Das Eine hat in nicht geringem Ausmaß mit dem Anderen zu tun.
    Ein Zweiklang besteht aus zwei gleichzeitig erklingenden Tönen. Physikalisch gesehen lassen sich diesen beiden Tönen Frequenzen und Wellenlängen zuordnen. Ein höherer Ton hat dabei die größere Frequenz, aber die kleinere Wellenlänge. Beispielsweise besitzt der Kammerton A die Frequenz 440 Hz. Das Verhältnis der Frequenzen zweier Töne, eines ersten Tons oder Grundtons und eines weiteren Tons oder Zieltons, der zusammen mit dem Grundton gehört wird, nennen wir ein musikalisches Intervall. Ein Frequenzverhältnis der Töne ist dann mathematisch nichts anderes als ein Zahlenverhältnis. Und schon sind wir mit der Musik bei der Mathematik.
    Erklingen zwei Töne zusammen, so wird dies vom menschlichen Gehör dann als angenehm empfunden, wenn ihre Frequenzen in kleinen ganzzahligen Verhältnissen zueinander stehen. Tonabstände werden vom menschlichen Ohr dann als gleich groß empfunden, wenn sie dasselbe Frequenzverhältnis haben, nicht, wenn sie denselben Frequenzabstand haben. Unser Ohr hört demnach logarithmisch. Das elementarste Intervall ist die Prim, in der ein Grundton mit sich selbst verglichen wird. Ihr entspricht also das Zahlenverhältnis 1 : 1. Bei der als sehr harmonisch empfundenen Oktave beträgt das Frequenzverhältnis 2 : 1, ein Verhältnis von 3 : 2 nennt man Quinte, ein Verhältnis von 4 : 3 heißt Quarte.
    Eine auf- oder absteigende Folge von Tönen, die in einem musikalischen Zusammenhang stehen, nennt man Tonleiter. Als älteste Tonleiter gilt die pythagoreische Tonleiter. Welche Probleme löst sie, welche erzeugt sie, und wo liegt ihre Achillesferse? Diese Fragen beschäftigen uns jetzt.
    Die pythagoreische Tonleiter beruht auf der Kombination von zwei einfachen Leitmotiven: Wenn zwei Töne erklingen, die sich um eine Oktave unterscheiden, so nimmt das menschliche Ohr sie als identisch wahr. Sie verschmelzen dann zu einem einzigen Ton mit charakteristischer Klangfarbe. Um Oktaven verschobene Töne gelten deshalb als harmonisch gleich. Anders ausgedrückt: Zwei Töne gelten dann als gleich, wenn die Frequenz des höheren durch fortgesetztes Verdoppeln aus der Frequenz des niedrigeren Tons gewonnen werden kann. Daraus entsteht die mathematische Übereinkunft: Ein musikalisches Intervall ändert sich nicht, wenn man es mit 2 multipliziert, d.h. den zweiten (höheren) Ton um eine Oktave höher spielt bzw. den ersten (tieferen) Ton um eine Oktave tiefer spielt. Ein musikalisches Intervall ändert sich ebenfalls nicht, wenn man es durch 2 dividiert, d.h. den zweiten Ton um eine Oktave tiefer spielt bzw. den ersten Ton um eine Oktave höher spielt.
    Der zweite Grundsatz der pythagoreischen Tonleiter besagt, dass nur solche Töne aufgenommen werden, deren Schwingungszahlen in einem einfachen ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen.
    Der griechische Mathematiker Pythagoras von Samos führte diese Grundsätze einer Tonlehre um 500 v. Chr. ein und konstruierte damit eine Tonleiter nach folgendem Verfahren: Man beginne mit einer schwingenden Saite (einem so genannten Monochord) der Länge 1. Sie erzeugt einen Ton, den wir Grundton nennen. Dann verkürze man die Saite um 1/3 ihrer Gesamtlänge. Das Monochord mit der Länge 2/3 produziert einen anderen Ton. Er harmoniert gut mit dem Grundton. Diese Vorgehensweise wird fortgesetzt: Der neue Ton wird als neuer Ausgangston zur Konstruktion eines weiteren Tons verwendet. Wenn dabei das