Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

kann, liegt daran, dass der entsprechende Ast im Baumdiagramm nicht existiert, was auch eine Folge der Präfixeigenschaft ist.

    Abbildung 71: Telefonanschluss 112, die Nummer der Feuerwehr
Hermeneutik epochaler Literaturen
Einige Studenten bekommen vom Professor ein Telefonbuch in die Hand gedrückt.
Reaktionen!
Der Mathematikstudent: Ich kann keine Formel finden, mit der ich die Zahlen in eine Beziehung setzen kann. Sie scheinen nur definierte Festlegungen von Konstanten zu sein, und ohne Erklärung sind diese Definitionen wertlos!
Der Physikstudent: Ich kann aus diesen Messergebnissen nicht auf den Versuch schließen, und damit sind die Ergebnisse wertlos!
Der Literaturstudent: Dieses Theaterstück ist unglaublich langweilig. Viele Darsteller, aber nicht die Spur einer Handlung.
Der BWL-Student: Für wie viel soll ich das Objekt verkaufen?
Der Jurastudent: Gibt’s dazu auch ‘nen Kommentar?
Der Medizinstudent: Bis wann?
    Wichtige Merkmale eines Codes sind die Längen seiner Codewörter, die Anzahl der Wörter, die er codieren kann, und die Minimaldistanz zwischen den Codewörtern. Definiert ist die Distanz zweier Codewörter ganz einfach als die Anzahl der Positionen, in denen sie sich unterscheiden. Die Distanz zwischen den beiden Telefonnummern 96.763 und 94.732 ist 3. Die Minimaldistanz ist der kleinste auftretende Abstand zwischen je zwei verschiedenen Codewörtern (d.h. Telefonnummern).
    Ein guter Code hat eine kleine Länge, eine große Minimaldistanz, und die Zahl M der codierbaren Zeichenketten sollte möglichst groß sein. Angewendet auf Telefonnummern heißt das: Sie sollten so kurz wie möglich sein, andererseits müssen sie hinreichend lang sein, um allen Telefonanschlüssen T in einer Stadt eine eigene Nummer zuordnen zu können: M ≥ T ist eine Mindestanforderung. Was die Minimaldistanz zweier Telefonnummern betrifft, so sollte sie deshalb möglichst groß sein, um bei auftretenden Fehlern beim Wählen möglichst nicht zu einer falschen Verbindung mit einem anderen Anschluss zu führen, sondern vorzugsweise zum Ertönen des «Falsche Nummer»-Signals. Verhoeff hat eine Studie über Art und Häufigkeit der Fehler beim Eintippen von Telefonnummern veröffentlicht: Wenn Fehler beim Wählen auftreten, so treten verschiedene Fehlertypen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auf:

 
    Art des Fehlers 
 
    Häufigkeit in% 
 
    Einzelfehler x → y 
 
    79,0 
 
    Zahlendreher xy → yx 
 
    10,2 
 
    Sprung-Transposition xzy → yzx 
 
    0,8 
 
    Zwillingsvertauschung xx → yy 
 
    0,6 
 
    Phonetische Fehler x0 → 1x (z.B. 50 → 15) 
 
    0,5 
 
    Sprung-Zwillingsfehler xzx → yzy 
 
    0,3 
 
    Sonstige Fehler 
 
    8,6 
    Aufgrund dieser Aufstellung, nach der Einzelfehler und Zahlendreher zusammen rund 90 % aller Fehler bilden, die gemacht werden, ist es wünschenswert, wenn die Minimaldistanz im Telefonnummernsystem mindestens 3 ist. Dies schränkt die Anzahl M der verfügbaren Nummern natürlich stark ein. Wir wollen einmal das maximal mögliche M betrachten, wenn eine Minimaldistanz von r = 2s + 1 in der Menge der n-stelligen Telefonnummern verlangt wird. Exakte Ermittlungen stellen ein sehr schwieriges Problem dar. Doch man kann Abschätzungen für M angeben, etwa die sogenannte Kugelpackungsschranke, die Folgendes besagt: Für n-stellige Telefonnummern gilt bei Minimalabstand r = 2s + 1 die Ungleichung

    Das kann man sich so verdeutlichen: Wir zählen für eine beliebige Telefonnummer t der Länge n die Anzahl der Telefonnummern mit Abstand i von t. Das sind genau

    Nummern, da ich genau i der n Stellen auswählen muss, um meine Telefonnummer t zu ändern, und für die Änderung stehen in jeder der i Positionen 9 Ziffern zur Verfügung. Die so genannte «Kugel» um t mit Radius s (auch «s-Umgebung von t» genannt) ergibt sich dann, wenn man obige Ausdrücke für i = 0 bis i = s summiert. Ist nun der kleinste Abstand zwischen je zwei tatsächlich verwendeten Telefonnummern r = 2s + 1, dann sind die s-Umgebungen um alle diese Telefonnummern disjunkt. Des Weiteren kann es offensichtlich bei Ziffernfolgen mit n Stellen nicht mehr als 10 n Zahlenkombinationen geben. Die Anzahl M der möglichen zu vergebenden Telefonnummern erfüllt also die Beziehung

    Ihr entnimmt man sofort die obige Kugelpackungsschranke.
    Wir rechnen ein konkretes Beispiel als Anwendung.
    Die Stadt München hat 1,4 Millionen Telefonanschlüsse und 8-stellige Telefonnummern. Ist es möglich,