Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

die Vergabe von Telefonnummern so zu gestalten, dass der Minimalabstand 3 beträgt?
    Wir bringen die Kugelpackungsschranke zum Einsatz, um die unter diesen Bedingungen mögliche Anzahl M von Telefonnummern nach oben abzuschätzen. Mit n = 8 und s = 1 in der Formel erhalten wir

    Damit ist das Gewünschte nicht möglich.
113. Mathematik für Zebras
    Die Europäische Artikelnummer EAN ist eine 13-stellige Ziffernfolge, die sich auf handelsüblichen Artikeln befindet und Informationen über die damit markierte Ware enthält. Die Ziffernfolge wird immer von einem Strichcode begleitet.

    Abbildung 72: EAN-Zebrastreifen und Ziffernfolge
    Die ersten 12 Ziffern bilden die eigentliche Artikelnummer. Die letzte Ziffer (in der Abbildung 72 ist es die 6) ist eine Prüfziffer. Die Prüfung erfolgt so: Von links nach rechts werden die Ziffern abwechselnd mit den Faktoren 1 und 3 multipliziert und anschließend die 13 Produkte addiert. Die EAN-Nummer
    aa… a
    ergibt die Prüfsumme

    Ein auf diese Weise geprüfter EAN-Code wird nur dann als richtig akzeptiert, wenn die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ist. Die Prüfziffer ist übrigens so festgelegt, dass zunächst die Prüfsumme für die Ziffern a 1 a 2 …a 12 bestimmt wird. Die Prüfziffer a 13 aus der Menge der Ziffern {0, 1, 2, …, 9} ergibt sich dann durch Ergänzung der Prüfsumme zum nächsten Vielfachen von 10.
    Welche Funktion hat die Prüfziffer? Mit ihrer Hilfe können falsche Artikelnummern festgestellt werden. Jeder Einzelfehler, etwa ein Fehler in der i-ten Stelle,

    wird vom Scanner, der auf Teilbarkeit der Prüfsumme durch 10 prüft, erkannt. Denn wenn die Prüfziffer P i von a 1 a 2 …a i …a 13 ein Vielfaches von 10 ist, also für eine natürliche Zahl k von der Bauart

    dann kann die Prüfzifferder fehlerbehafteten Folge a 1 a 2 …ā i …a 13 kein Vielfaches von 10 sein, da die Differenz P i –nur entweder den Wert a i – ā i oder 3(a i – ā i ) haben kann, je nachdem, ob i eine ungerade oder eine gerade Zahl ist. Und für a i ≠ ā i ist keiner dieser beiden Ausdrücke ein Vielfaches von 10.
    Wie sieht es nun mit den Zahlendrehern als bekanntermaßen nächsthäufigster Fehlerart in Ziffernfolgen aus? Diese Fehler betreffen zwei aufeinanderfolgende Stellen: … ab … → … ba …. Die Differenz der zugehörigen Prüfsummen P ab und P ba ist entweder gleich 3a + b – (3b + a) = 2(a – b) oder gleich a + 3b – (b + 3a) = 2(b – a). Und nur dann, wenn | a – b| = 5 ist, handelt es sich dabei entweder um + 10 oder um – 10. Man kann also umgehend schlussfolgern, dass der EAN-Code auch diese sogenannten Transpositionsfehler zu erkennen vermag, außer wenn die beteiligten Ziffern sich um genau 5 unterscheiden, wie etwa im Fall a = 1 und b = 6.
114. Der Weltmeister der Zahlen
    Eine größte Zahl gibt es natürlich nicht, doch man könnte sich die Frage stellen, was die größte Zahl ist, die je in einem sinnvollen mathematischen Beweis verwendet wurde. Schaut man im Guinnessbuch der Rekorde von 1980 nach, so wird diese Frage beantwortet durch ein Zahlenungeheuer namens Grahams Zahl, benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Ronald L. Graham. Dieser befasste sich in den 1970er Jahren mit einem speziellen Gebiet der Ramsey-Theorie, deren typische Problemstellungen lauten: «Was ist die kleinste Menge, die zwingend eine Teilmenge mit bestimmten vorgegebenen Eigenschaften enthalten muss?» Ein ganz elementares Beispiel wäre: Wie groß ist die kleinste Gruppe von Personen, in der mindestens eines der beiden Geschlechter mindestens doppelt vertreten ist? Die Antwort lautet natürlich 3, denn in jeder Gruppe von 3 Personen befinden sich mindestens zwei Männer oder mindestens zwei Frauen. Das war harmlos. Aber wie ist es mit dieser vertrackten Problemstellung?
    «Man betrachte jedes mögliche Komitee (d.h. jede mögliche Teilmenge), das man aus einer Menge von n Personen bilden kann, und weise rein zufällig je zwei Komitees einer von zwei Gruppen zu, etwa durch Münzwurf. Was ist die kleinste Zahl n, die garantiert, dass es 4 Komitees gibt, für welche die aus diesen gebildeten Paare alle in derselben Gruppe liegen und alle Komiteemitglieder zu einer geraden Anzahl von Komitees gehören.»
    Das ist, in einfacher, anschaulicher Sprache ausgedrückt, die abstrakte Frage, mit der sich Ronald Graham 1970 und drum herum befasst hat. Man muss wohl Ramsey-Theoretiker sein, um diese Frage interessant zu finden. Ich finde sie nicht interessant, und das ist