Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

Zyklenlänge der Zikaden beispielsweise 12 Jahre, so könnten sich die Räuber auf die Zikaden synchronisieren, und viele Zikaden würden diesen synchronisierten Räubern zum Opfer fallen, was zur Auslöschung einer gesamten Generation führen könnte. Durch die Wahl einer Primzahl erschwert die Zikade ihren natürlichen Feinden, sich auf sie einzustellen, denn ein Primzahlzyklus verunmöglicht jede kleinzahlige Synchronisation. Dadurch ist die Zikade im evolutionären Überlebenskampf weitaus besser geschützt.
    Man weiß heute, dass eine Kombination von Witterungsfaktoren und Bodentemperatur das zeitgleiche Schlüpfen aller Zikaden auslöst. Diese Bedingungen ergeben sich aber jedes Jahr aufs Neue. Doch woher wissen die Larven, wann wieder 17 Jahre verstrichen sind? Irgendwie zählen sie bis 17! Kein Mensch weiß, wie.
127. Zufallszählen
    Manchmal möchte man die Anzahl von Individuen in einer bestimmten, nur schwer abzählbaren Population ermitteln. Für diese Zwecke kann ein Verfahren verwendet werden, das auf der Kunst basiert, in geschickter Weise den Zufall ins Spiel zu bringen. Wir nennen es die Methode des stochastischen Zählens und demonstrieren sie an einem instruktiven Beispiel.
    Wie viele Fische befinden sich in einem Teich?
    Praktisch ist es nahezu unmöglich, jedenfalls aber außerordentlich aufwendig, alle Fische aus dem Teich zu fangen, sie zu zählen und sie anschließend zurückzuwerfen. Und selbst in diesem Fall ist mit Ergebnisverzerrungen zu rechnen, kann man doch keineswegs sicher sein, alle Fische erwischt zu haben.
    Wir gehen effizienter vor. Nehmen wir an, die uns unbekannte Anzahl der Fische im Teich ist N. Von diesen werden nun M Fische gefangen und in irgendeiner Weise markiert. Dann werden sie in den Teich zurückgeworfen. Nach einer kurzen Zeitspanne, die lang genug ist, um die abermalige zufällige Durchmischung aller Fische im Teich zu gewährleisten, werden nochmals einige Fische gefangen, und zwar diesmal insgesamt n Stück. Sind unter diesen n Fischen m farblich markiert, wie kann man dann mit dieser ausgesprochen spärlichen Information etwas über N in Erfahrung bringen? Nun, man kann den plausiblen Ansatz machen, dass die beim zweiten Mal gezogene Fischpopulation der n Fische hinsichtlich Markierung und Nicht-Markierung der Fische repräsentativ ist für alle Fische im Teich. Damit kann man den Anteil der markierten Fische im Teich, also M/N, gleich dem Anteil der markierten Fische in der zweiten Stichprobe, also m/n, setzen. Daraus erhält man durch elementares Umformen die Beziehung

    was als Approximation für N dient.
    Es gibt viele Anwendungen dieser Methode des stochastischen Zählens, für tierische und auch für menschliche Populationen. Neil McKeganey schätzte mit ihr im Rahmen seiner Studie über Aids die Anzahl der Prostituierten in Glasgow.
    Immer wenn präzises Zählen unmöglich oder stark fehlerbehaftet ist, kann man zu Zufallszählweisen greifen.
128. Musterbildung
    In diesem Beitrag wollen wir uns mit einem faszinierenden Beispiel für Selbstorganisation in der Natur befassen, und zwar mit der Ausbildung von Fellmustern bei Tieren. Haben Sie sich je gefragt, warum manche Tiere einfarbig sind, andere ein Fell mit Punkten und wieder andere ein Fell mit Streifen haben? Zur Beantwortung dieser Frage haben Mathematiker ein Modell entwickelt, dessen erste Ansätze auf Alan Turing (1912–1954) zurückgehen.
    Ein optisch besonders eindrucksvolles Beispiel ist das Zebra mit seinen Streifen. Diese werden von Generation zu Generation vererbt. Sie müssen also in der DNA der Spezies verankert sein. Überlegen wir einmal, wie wir selbst die Fellzeichnung der Tiere im Erbgut codieren würden. Modern gesprochen, könnte man das Muster in einem biochemischen Analogon einer Grafikdatei unterbringen. Bis auf geringfügige Variationen würden dann alle Zebras identisch erscheinen. In der Realität unterscheiden sich die Fellzeichnungen der Tiere aber so stark voneinander, dass man ganz ähnlich wie bei Fingerabdrücken die Individuen anhand ihrer Streifen identifizieren kann. Bei der Musterbildung des Zebrafells muss also auch eine Zufallskomponente, die eine gewisse Variation hervorruft, eine Rolle spielen. Andererseits sind die Streifen der Zebras ganz erheblich verschieden und eindeutig unterscheidbar von den Streifen der Tiger und anderer Tiere. Der Mechanismus der Musterbildung muss also artspezifisch operieren und somit von Spezies zu Spezies verschieden sein.
    Der