Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

früher erzeugten S ÄTZEN anlegen und benutzen.
    Einige dieser Forderungen überschneiden sich, aber was tut's. Wichtig ist, daß die Liste nur triviale Fähigkeiten verlangt, die alle weit geringer sind als die, Primzahlen von zusammengesetzten zu unterscheiden. Wie also können wir einige dieser Operationen so verknüpfen, daß ein formales System entsteht, in dem Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen unterschieden werden können?
Das mg-System
    Ein erster Schritt könnte der sein, daß wir versuchen, ein einfacheres, aber verwandtes Problem zu lösen. Wir könnten versuchen, ein dem pg-System ähnliches zu errichten, nur daß es anstatt der Addition die Multiplikation darstellt. Nennen wir es das mg-System, wobei „m“ für „mal“ steht. Konkreter: angenommen, X, Y und Z seien die jeweilige Anzahl von Bindestrichen in den Ketten x , y und z . (Man beachte, daß ich mich besonders bemühe, zwischen einer Kette und der Anzahl von Bindestrichen, die sie enthält, zu unterscheiden.) Sodann soll die Kette x m y g z ein S ATZ sein, dann undnur dann, wenn X mal Y gleich Z ist. Z. B. sollte −−m−−−g−−−−−− ein S ATZ sein, weil 2 mal 3 gleich 6 sind, nicht aber −−m−−g−−− . Das mg-System kann fast ebenso leicht charakterisiert werden wie das pg-System, nämlich indem man ein einziges Axiomenschema und eine Schlußregel verwendet:
    A XIOMSCHEMA : x m−g x ist ein Axiom, wenn x eine Bindestrichkette ist.
    S CHLUSSREGEL : Angenommen, x , y , z sind Bindestrichketten, und angenommen, x m y g z ist schon ein S ATZ . Dann ist x m y −g zx ein neuer S ATZ .
    Nachstehend die Ableitung des S ATZES   −−m−−−g−−−−−−
1)
−−m−g−−
Axiom
2)
−−m−−g−−−−
(Schlußregel, wobei Zeile 1 als Ausgangs SATZ benutzt wird)
3)
−−m−−−g−−−−−−
(Schlußregel, wobei Zelle 2 als Ausgangs SATZ benutzt wird)
    Man beachte, wie die mittlere Bindestrichkette jedesmal um einen Bindestrich anwächst, wenn die Folgerungsregel angewendet wird, so läßt sich voraussagen, daß man die Folgerungsregel neunmal anwenden muß, wenn man einen S ATZ mit zehn Bindestrichen in der Mitte zu erhalten wünscht.
Zeichenketten zusammengesetzter Zahlen
    Die Multiplikation, ein etwas verzwickteres Konzept als die Addition, haben wir jetzt typographisch „eingefangen“, wie die Vögel in Eschers Befreiung. Wie steht es mit dem, was man „Primität“ nennen könnte, also den Eigenschaften der Primzahlen? Vielleicht wäre es klug, wie folgt vorzugehen: Man macht Gebrauch vom mg-System und definiert eine neue Kollektion von S ÄTZEN der Form Z x , die zusammengesetzte Zahlen charakterisiert, wie folgt:
    R EGEL : Angenommen, x , y und z sind Bindestrichketten. Wenn x −m y −g z ein S ATZ ist, dann ist es auch Z z .
    Das heißt, daß Z (die Anzahl der Bindestriche in z ) zusammengesetzt ist, wenn es das Produkt zweier Zahlen ist, die größer als 1 sind — nämlich X + 1 (die Anzahl der Bindestriche in x —), und Y + 1 (die Anzahl der Bindestriche in y —). Ich verteidige diese neue Regel, indem ich einige Begründungen im „Intelligenz-Modus“ gebe — das deshalb, weil Sie ein Mensch sind und wissen wollen, warum es solch eine Regel gibt. Wenn Sie ausschließlich im „mechanischen Modus“ operieren, bedürfte es keiner Begründung, da diejenigen, die ausschließlich innerhalb des M-Modus arbeiten, einfach mechanisch und glücklich die Regeln befolgen, ohne sie je anzuzweifeln!
    Da Sie im I-Modus arbeiten, werden Sie dazu neigen, den Unterschied zwischen Ketten und ihrer Interpretation zu verwischen. Die Dinge können, wie man sieht, sehr verwirrend werden, sobald man in den Symbolen, die man manipuliert, eine „Bedeutung“wahrnimmt. Man muß gegen sich selber kämpfen, damit man die Kette „ −−− “ nicht für die Zahl 3 hält. Die Formalitätsbedingung, die dem Leser in Kapitel I wahrscheinlich rätselhaft vorkam (weil sie so offenkundig zu sein schien), wird hier verzwickt — und entscheidend. Es ist das wesentliche Hindernis, das Sie davon abhält, den I-Modus mit dem M-Modus zu vermischen, oder anders gesagt, es hält Sie davon ab, arithmetische Tatsachen und typographische S ÄTZE zu vermischen.
Unzulässige Charakterisierung von Primzahlen
    Es ist sehr verlockend, von den S ÄTZEN vom Z-Typus direkt zu solchen vom P-Typus überzugehen, indem man etwa eine Regel folgender Art vorschlägt:
    V ORGESCHLAGENE R EGEL : Angenommen, x ist eine