Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Denkprozesse der „Bedeutungen“ der Wörter zu. Diese Entdeckung war eine entscheidende Erkenntnis auf dem langen Weg zur Formalisierung der Zahlentheorie.
    Wenn wir immer tiefer in Euklids Beweis eindringen würden, würden wir erkennen, daß er sich aus vielen kleinen, beinahe unendlich kleinen Schritten zusammensetzt. Schriebe man diese Schritte Zeile um Zeile nieder, dann erschiene der Beweis unglaublich kompliziert. Am klarsten wird er uns, wenn wir mehrere Schritte zusammenfassen, so daß sie einen einzigen Satz bilden. Wenn wir nun den Beweis unter der Zeitlupe ansehen, können wir die Einzelbilder wahrnehmen. Mit andern Worten: die Zerlegung kann nur bis zu einem gewissen Punkt gehen — und dann stoßen wir auf den „atomaren“ Aspekt des folgerichtigen Denkens. Ein Beweis kann in eine Reihe winziger, aber diskontinuierlicher Sprünge aufgeteilt werden, die von einer höheren Warte aus betrachtet scheinbar glatt ineinander fließen. In Kapitel VIII werde ich eine Methode zeigen, wie man einen Beweis in atomare Einheiten zerlegen kann, und der Leser wird erkennen, wie unglaublich viele Schritte dazu nötig sind. Das sollte ihn vielleicht nicht überraschen. An der Erfindung seines Beweises müssen Millionen von Neuronen (Nervenzellen) in Euklids Gehirn beteiligt gewesen sein, von denen viele mehrere hundert Male in Aktion traten. Allein das Aussprechen eines Satzes nimmt Hunderttausende von Neuronen in Anspruch. Wenn Euklids Denkvorgänge so kompliziert waren, dann ist es verständlich, daß sein Beweis eine riesige Anzahl von Schritten benötigt! (Zwischen der Tätigkeit der Neuronen in seinem Gehirn und einem Beweis in unserm formalen System besteht vielleicht nur eine geringe direkte Verbindung, aber die Komplexität der beiden ist vergleichbar. Es ist, als ob die Natur die Komplexität des Beweises, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, bewahren wolle, auch wenn die betreffenden Systeme voneinander sehr verschieden sind.)
    In den folgenden Kapiteln werden wir ein formales System darlegen, das erstens ein stilisiertes Vokabular umfaßt, in dem sich alle Aussagen über natürliche Zahlen ausdrücken lassen, und zweitens Regeln besitzt, die allen Arten folgerichtigen Denkens entsprechen, die sich als notwendig erweisen. Von größter Wichtigkeit wird die Frage sein, ob die Regeln für die Manipulation von Symbolen, die wir dann formulieren werden, wirklich gleich stark sind (was die Zahlentheorie betrifft), wie unsere gewöhnlichen geistigen Fähigkeiten, folgerichtig zu denken — oder, allgemein, ob es theoretisch möglich ist, durch die Verwendung eines formalen Systems die Ebene unserer Denkfähigkeit zu erreichen.

Sonate für Achilles solo
    Das Telefon läutet, Achilles nimmt ab.
    Achilles: Hallo, hier Achilles.
    Achilles: Oh, hallo, Herr S. Wie geht's?
    Achilles: Schilddrüsentorsion? Tut mir leid, es zu hören. Wissen Sie, wie das kam?
    Achilles: Wie lange hatten Sie ihn in dieser Lage?
    Achilles: Nun, kein Wunder, daß das passiert ist. Was in aller Welt hat Sie dazu gebracht, Ihren Hals so lange zu verkrampfen?
    Achilles: Viele von ihnen, wunderbar, nicht? Welche zum Beispiel?
    Achilles: Was verstehen Sie unter „phantasmagorischen Tieren“?
    Achilles: Hat es Sie nicht erschreckt, so viele von ihnen zu gleicher Zeit zu sehen?

    Abb. 14 . Flächenfüllung II , von M. C. Escher (Lithographie, 1957).
    Achilles: Eine Gitarre!? Ausgerechnet inmitten all dieser seltsamen Wesen? Spielen Sie denn Gitarre?
    Achilles: Nun, mir ist es gleich.
    Achilles: Sie haben recht. Warum mir wohl der Unterschied zwischen Fiedel und Gitarre nicht schon früher aufgefallen ist. Apropos Fiedeln. Wie wär's, wenn Sie zu mir herüberkämen und sich eine der Sonaten für Violine solo von Ihrem Lieblingskomponisten J. S. Bach anhörten? Ich habe eben eine wunderbare Platte mit diesen Sonaten gekauft. Ich kann es noch immer nicht fassen, wie Bach mit einer einzigen Geige ein so interessantes Musikstück schafft.
    Achilles: Auch noch Asthma? Das ist ja schrecklich. Vielleicht sollten Sie einfach ins Bett gehen.
    Achilles: Ach so. Haben Sie versucht, Schäfchen zu zählen?
    Achilles: Oh, ich verstehe. Ja, Ich weiß genau, was Sie meinen. Nun, wenn es Sie DERMASSEN mitnimmt, dann tun Sie vielleicht besser daran, es mir zu sagen, damit ich darüber nachdenken kann.
    Achilles: Ein Wort mit den Buchstaben „S“, „T“, „H“, „M“, — in dieser Reihenfolge ... Hmm
    Achilles: Stunden und Stunden? Sieht nach einem