Mathe ist doof

Streuselkuchen auf. Er hat dann den ganzen Streuselkuchen, oder einen halben Kuchen, oder insgesamt ein Drittel des ganzen Kuchenvorrats, aufgegessen.
    Als o ist 1 = 1 / 2 = 1 / 3 . Oder?
     
    Wie so oft kommen wir hier mit relativen Begriffen ins Trudeln, wenn wir sie absolut gebrauchen. Betrachten wir uns ein Bild der „Kuchensituation“, bevor jemand etwas aufgegessen hat:

     
     
     
     
    Die Aussage „Martin isst ½“ ist nun alles andere als eindeutig. Je nachdem, was gemeint ist (einen halben Käsekuchen, den halben Streuselkuchen, die Hälfte des Streuselkuchens oder die Hälfte der Kuchen) könnte das Resultat unterschiedlich aussehen:

     
     
     
    oder so:

     
     
     
    oder so:

     
    oder auch so:
     
     

     
    Die mathematischen Gleichungen bleiben in jedem Fall gültig, nur passen eben unterschiedliche zu den unterschiedlichen Situationen.
    Erkennt man mit etwas Vorstellungskraft bei den ersten Situationen 1 ½ − ½ = 1, sind die beiden folgenden wesentlich komplexer:
    1 ½ − „die Hälfte von ½“ = 1 ½ − ¼ = 1 ¼  und
    1 ½ − „die Hälfte von 1 ½“ = 1 ½ − ¾ = ¾.
    Was allerdings auch nicht immer den tatsächlichen Sachverhalt ab bildet: Statt „1“ erhält man im ersten Bild „zwei Halbe“ und statt „¾“ im vierten Bild „ein Halbes und ein Viertel“.
    Dass ein Halbes und ein Viertel das Gleiche (wenn auch nicht immer dasselbe) wie drei Viertel und dreiviertel sind, deckt sich mit vielen unserer Erfahrungen. Wer eine halbe Stunde und dann noch eine viertel Stunde wartet verbringt die gleiche Zeit wartend wie jemand, der eine Viertelstunde und noch eine Viertelstunde und noch eine Viertelstunde wartet, und demjenigen, der gleich eine dreiviertel Stunde warten muss, ergeht es weder besser noch schlechter.
    Um Brüche miteinander zu vergleichen, so haben wir es gelernt, muss man diese „gleichnamig machen“. (Das erreicht man durch „Erweitern“ und „Kürzen“; dazu gleich mehr.)
    Erst dann kann man sie auch problemlos addieren und subtrahieren. Das ist nichts Neues: 3 Einer und 6 Hunderter lassen sich auch erst dann addieren, wenn man sie „gleichnamig“ als Einer schreibt:
3 + 600 und eben nicht 3 + 6; das gleiche gilt bei Größen: 3 Cent und 6 Euro sind zusammen weder 9 Cent noch 9 Euro.
    So sind ein Halb plus ein Viertel gleich zwei Viertel plus e in Viertel gleich drei Viertel.
    Wer aber zuerst die Hälfte seines Geldes verschenkt und danach noch ein Viertel seines restlichen Geldes, behält mehr für sich als jemand, der gleich drei V iertel seines Geldes weggibt. Probieren Sie es doch mal aus! Wie wäre es mit SOS Kinderdorf und UNICEF?
    Wie „macht“ man aus Halben Achtel? Man „erweitert“. Was bedeu tet „erweitern“? „Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der glei chen Zahl multiplizieren“ − so oder so ähnlich haben wir es in der Schule gelernt. Leider verstellt dieser Merksatz nur allzu oft das, was dieses „Erweitern“ tatsächlich bedeutet.
    In unserem Verständnis bedeutet „Erweitern“, dass etwas „weiter“, also auf eine bestimmte Art „größer“ wird: wir erweitern unseren Horizont, den Spielraum oder die Rasenfläche im Garten.
    Auch mit „Multiplizieren“ verbindet sich oft ein Vergrößern (wenn auch nicht immer); was liegt also näher, als „erweitern“ für ein Syn onym zu „vergrößern“ zu halten!
    Was „Erweitern“ wirklich bedeutet, können Sie sich leicht mit Hilfe eines Blattes Papier veranschaulichen. Sie falten das Blatt in der Mitte und sehen zwei Hälften. Schneiden Sie das Blatt entzwei und „erweitern“ Sie nun die eine Hälfte zu „Achteln“. Falten und schnei den Sie und Sie sehen, dass man aus einem halben Blatt Papier genau vier achtel Blätter erhält. Die Menge an Papier bleibt gleich, die Größe der Stücke wird kleiner, dafür nimmt die Anzahl der Stücke zu. Zum „Erweitern“ kann man eine Schere benutzen, das gleiche Instrument also, das man ansonsten zum Kürzen von Fäden oder Haaren benutzt!
    Statt das „Erweitern“ von Halben in Achtel so zu schreiben:

    ist es unter Umständen sinnvoller, das so zu tun:
                  .
    Vorteil: Man erkennt, dass man insgesamt mit dem Faktor 1 multip liziert (dem „neutralen Element“ der Multiplikation, das den Wert nicht ändert) und der Bruch ½ wird nicht technisch in „Zähler“ und „Nenner“ „zerlegt“. Dieses Aufspalten kann nämlich besonders zu Anfang zu der problematischen Vorstellung führen, man