Platon in Bagdad

während er einen geometrischen Satz in den Sand zeichnete.
    Zu den berühmten Erfindungen des Archimedes gehörte ein Planetarium, ein funktionierendes Modell der Bewegung der Himmelskörper. Cicero hat dieses Modell gesehen und behauptete, es zeige die Bewegung der Sonne und des Mondes und veranschauliche Sonnen- wie auch Mondfinsternisse. Eine weitere Erfindung, die archimedische Schraube, verwendet man noch heute in Ägypten, um in primitiven Bewässerungssystemen Wasser nach oben zu befördern. Plutarch zufolge schätzte Archimedes selbst seine Erfindungen nicht besonders, weil sie für ihn nur die »Nebenbeschäftigung einer spielenden Mathematik« waren.
    Auch bei Plutarch heißt es zu den mathematischen Beweisführungen des Archimedes: »Denn nirgends im Gebiete der Mathematik lassen sich schwierige und wichtige Sätze in einfacheren, reineren Formen darlegen, als es von ihm geschah.« Archimedes’ Themen lassen sich schon aus den Titeln einiger Abhandlungen ableiten, zum Beispiel
Über die Kreismessung
,
Über Kugel und Zylinder
,
Über das Gleichgewicht von Ebenen
,
Über schwimmende Körper
und
Die Sandzahl
.
    In der ersten Abhandlung gelang es Archimedes, mit Hilfe der sogenannten Exhaustionsmethode den Flächeninhalt eines Kreises präzise zu bestimmen. Dabei erzielte er nach und nach immer größere Annäherungen, indem er die Flächen regelmäßiger Vielecke innerhalb und außerhalb des Kreises berechnete. In seinen anderen mathematischen Werken verwendete er diese Methode zur Messung der Flächen und Volumina verschiedener geometrischer Körper, so auch in seiner Abhandlung
Über Kugel und Zylinder
. Hier erkannte er, dass die Fläche eines Zylinders, der eine Kugel genau umschließt, im Verhältnis 3: 2 zur Fläche der Kugel steht, und er war so stolz auf diese Entdeckung, dass er diese beiden geometrischen Körper auf seinen Grabstein gravieren ließ.
    Die Schrift
Über das Gleichgewicht von Ebenen
befasst sich mit der Statik, der Lehre vom Gleichgewicht mechanischer Systeme. Hier brachte Archimedes das Hebelgesetz zur Anwendung, um den sogenannten Schwerpunkt verschiedener Figuren zu bestimmen – d. h., den Punkt, in dem sich ihr gesamtes Gewicht konzentriert. Die Aufgabenstellung ist idealisiert und vernachlässigt die Reibung sowie andere äußere Faktoren; ganz nach dem Muster von Euklids
Elementen
wird deduktiv und geometrisch abgeleitet. Die Arbeit zum Hebel führte zu Archimedes’ berühmter Prahlerei gegenüber König Hieron: »Gebt mir einen festen Punkt und ich werde die Erde aus ihren Angeln heben.«
    In der Abhandlung
Über schwimmende Körper
wendet er die gleiche Form der geometrischen Analyse auf die Hydrostatik an, dieLehre der unbewegten Flüssigkeiten. Der grundlegende Lehrsatz ist hier das berühmte Archimedische Prinzip, wonach der Auftrieb eines völlig oder teilweise in eine Flüssigkeit getauchten Körpers dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entspricht. Der römische Architekt und Ingenieur Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. erzählt, wie Archimedes dieses Prinzip entdeckte, als er in die Badewanne stieg und einen zunehmenden Auftrieb bemerkte, je weiter er eintauchte und je höher damit das Wasser anstieg: »Flugs springt er voller Freuden aus der Wanne wieder heraus, läuft nackend, wie er ist, nach Hause, und hört nicht auf, im Laufen laut zu rufen: gefunden, gefunden! – heureka, heureka!«
    Vitruv berichtet auch, wie Archimedes dieses Prinzip zur Lösung eines praktischen Problems einsetzte – um zu beweisen, ob eine für König Hieron angefertigte Goldkrone mit einem anderen Metall verfälscht war. Dazu tauchte er die Krone in Wasser und stellte fest, dass sie eine größere Menge an Wasser verdrängte als reines Gold des gleichen Gewichts. Daran zeigte sich, dass die Krone eine geringere Dichte hatte als Gold und somit mit einem leichteren Metall gestreckt worden war. Archimedes hatte das spezifische Gewicht entdeckt: das Verhältnis des Gewichts eines Körpers zu seinem Volumen.
    Die
Sandzahl
ist König Gelon gewidmet, dem Archimedes eine von ihm entwickelte Methode zur Darstellung sehr großer Zahlen erklärte. Dies war mit dem damals üblichen System, bei dem die Zahlen mit den Buchstaben des Alphabets dargestellt wurden, praktisch unmöglich. Als Beispiel nennt Archimedes die Zahl der Sandkörner in »einer Kugel, die so groß ist wie der Kosmos«, d. h. »die Kugel …, deren Zentrum der Mittelpunkt der Erde ist und deren Radius die Verbindungslinie