Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

Würfelchen; das sind acht Stück.
    Insgesamt erhalten wir tatsächlich 8 + 24 + 24 + 8 = 64 Würfelchen. Dies ist eine Bestätigung dafür, dass wir richtig überlegt und gerechnet haben.

    Zusatzaufgabe: Versuchen Sie, das entsprechende Problem für einen Würfel der Größe 5 · 5 · 5 zu lösen. Wie viele Würfelchen gibt es in diesem Fall insgesamt?

Ein Käsewürfel
    Sie wollen einen großen Würfel aus Käse in kleine Würfelchen zerschneiden, und zwar in genau 27 kleine Würfelchen, 3 · 3 · 3. Ganz ordentlich: drei waagrechte Ebenen, auf jeder Ebene neun Würfelchen, auf der vorderen Ebene neun, auf der hinteren neun, rechts neun und links neun. Das kann man sich gut vorstellen.

    Die Frage ist: Wie viele Schnitte brauchen Sie dazu?
    Sie können natürlich zweimal senkrecht von vorne nach hinten, zweimal senkrecht von rechts nach links und zweimal waagerecht von vorne nach hinten schneiden. Insgesamt sind das sechs Schnitte. Das heißt, mit sechs Schnitten geht es.
    Alle Schnitte müssen gerade sein, aber ob Sie ganz durchschneiden oder nur ein bisschen reinschneiden, das können Sie vollkommen frei entscheiden.
    Vielleicht gibt es ja eine ganz raffinierte Methode, die mit weniger als sechs Schnitten auskommt …

    Frage: Geht es mit weniger als sechs Schnitten, oder ist sechs das Optimum?

    Tipp: Achten Sie auf den kleinen Würfel, der in der Mitte des großen Würfels sitzt!
    Lösung: Mit weniger als sechs geht es nicht. Das sieht man so: In der Mitte bleibt ja ein kleiner Würfel übrig. Der hat – wie jeder Würfel – sechs Seiten. Und jede Seite dieses Würfels in der Mitte entsteht durch einen Schnitt. Da alle Schnitte gerade sein müssen, können nie zwei seiner Seitenflächen durch einen einzigen Schnitt entstehen. Also braucht man mindestens sechs Schnitte, die alle durch den kompletten Käsewürfel gehen müssen. „Reinschneiden“ allein reicht nicht!

7.
Geometrisches

Gardner-Dreieck
    Beide Abbildungen zeigen Dreiecke, die aus den gleichen vier Teilen zusammengesetzt wurden. Das kann man leicht durch Nachzählen der Kästchen überprüfen.
    Trotzdem gibt es in einem Fall eine Lücke, im anderen nicht. Wo ist das fehlende Stück?

    Tipp: Schneiden Sie die Teile aus und überzeugen Sie sich selbst!
    Lösung: Das Phänomen liegt in unserer menschlichen Leichtgläubigkeit begründet. Die beiden Möglichkeiten sehen aus wie ein Dreieck, auch haben wir in der Einleitung behauptet, es seien Dreiecke – aber das stimmt nicht. Die lange Seite der beiden angeblichen Dreiecke ist keine gerade Strecke, sondern geknickt. Und zwar ist dieser Knick in der langen Seite beim linken Dreieck „nach innen“ und beim rechten Dreieck „nach außen“ gerichtet. Der Knick ist jedoch sehr schwach ausgeprägt und wird durch das Aneinanderstoßen mehrerer Teile an dieser Stelle gut versteckt.
    Die kleinen Teildreiecke haben geringfügig unterschiedliche Winkel. Das kann man durch Abzählen der Kästchen herausfinden. Das größere Teildreieck ist 7 Kästchen breit und 3 hoch, das ergibt ein Seitenverhältnis von 7 zu 3, also ungefähr 2,3. Beim kleineren Teildreieck sind es 5 Kästchen in der Breite und 2 Kästchen in der Höhe. Das Verhältnis ist in diesem Fall 5 zu 2, also 2,5.
    Durch die entweder nach innen oder nach außen gerichtete Ecke ist das „Dreieck“, je nachdem wie es zusammengelegt wurde, einmal etwas kleiner und im anderen Fall etwas größer. In der größeren Variante bleibt daher ein Stück im Inneren des Dreiecks frei, sodass eine Lücke entsteht.

    Dieses Rätsel wurde von dem Mathematiker und Rätselerfinder Martin Gardner 1956 veröffentlicht. Es geht auf den New Yorker Magier Paul Curry zurück.

Fußballfeld
    Ein Fußballfeld ist normalerweise 105 Meter lang und 68 Meter breit. Der Umfang des Feldes, einmal außen herum, beträgt also 105 m + 68 m + 105 m + 68 m = 346 m.
    Jetzt nehmen wir ein Seil, das genau 347 Meter lang ist, also genau einen Meter länger als der Umfang des Spielfeldes. Dieses Seil legen wir um das Spielfeld herum. Ganz ordentlich, so dass es überall den gleichen Abstand vom Spielfeld hat. Das Seil bildet also auch ein Rechteck, das ein bisschen größer als das Spielfeld ist. Es hat oben und unten, rechts und links den gleichen Abstand zum Spielfeld.
    Wie groß ist dieser Abstand? Passt in den Rand zwischen Spielfeld und Seil eine Trillerpfeife? Eine weitere Begrenzungslinie? Oder ein Fußballschuh?

    Tipp: Betrachten Sie die Ecken genauer!

    Lösung: Der größte