Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

sogar!

Würfelkunstwerk
    Ein Künstler baut seine Kunstwerke aus vielen Würfeln. Die sind mal größer, mal kleiner, aber in einem Kunstwerk verwendet er immer nur Würfel derselben Größe. Die Oberfläche der Würfel bei seinem nächsten Projekt soll edel gestaltet werden. Daher hat der Künstler große Papierbahnen golden eingefärbt. Mit diesem Papier will er die Oberfläche der Würfel bekleben.
    Beim Ausmessen des vorbereiteten goldenen Papiers stellt er fest, dass er bereits viel zu viele Bahnen eingefärbt hat, weit mehr, als alle bereitgelegten Würfel zusammengenommen an Oberfläche haben. Genauer betrachtet hat er sogar exakt doppelt so viel Papierfläche vorbereitet, wie die Oberfläche der Würfel benötigen würde. Da er keine weiteren Würfel hinzunehmen, aber auch das ganze Papier verwenden will, steht er vor einem Problem. Doch ihm kommt eine Idee, wie er durch geschicktes Zerschneiden der Würfel die Oberfläche verdoppeln kann, ohne auf die Würfelform zu verzichten. Was hat er wohl gemacht?

    Tipp: Kleiner kann manchmal größer sein!

    Lösung: Der Trick liegt im Zerlegen der Würfel in kleinere Würfel. Jeder Würfel wird einmal waagrecht, einmal längs und einmal quer durchgeschnitten. So entstehen aus einem der ursprünglichen Würfel acht kleine Würfel. Jeder dieser Würfel hat ein Viertel der Oberfläche des ursprünglichen Würfels, da jede Seite auf ein Viertel reduziert wird. Acht kleine Würfel mit jeweils einem Viertel der ursprünglichen Oberfläche haben dann insgesamt die benötigte doppelte Oberfläche.

Primzahlen am Würfel
    Den Eckpunkten eines Würfels sollen die Zahlen 0 bis 7 zugeordnet werden; dabei darf jede Zahl nur einmal verwendet werden. Die Aufgabe besteht darin, das so zu machen, dass die Summe von je zwei Endpunkten einer Kante des Würfels stets eine Primzahl ist!

    Tipp: Mit wie vielen anderen Zahlen muss jede der Zahlen von 0 bis 7 kombiniert werden?

    Lösung: Dass ein Würfel sechs Seiten hat, kennt man vom Brettspiel. In diesem Rätsel sind jedoch die acht Ecken und zwölf Kanten von Bedeutung. Jede Ecke ist in drei Richtungen mit anderen Ecken verbunden. Daher muss jede Zahl von 0 bis 7 mit drei anderen dieser Zahlen kombiniert werden. Die sechs möglichen Primzahlen, die bei diesen Kombinationen entstehen, sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Die 7 kann also nur mit 0 (7 + 0 = 7), 4 (7 + 4 = 11) und 6 (7 + 6 = 13) kombiniert werden, womit sich schon vier der acht Ecken des Würfels ergeben: Die 7 an eine Ecke und die 0, die 4 und die 6 an die drei benachbarten Ecken.
    Dadurch ist die Auswahl für drei der verbleibenden Ecken schon stark eingeschränkt, da schon jeweils zwei der drei Nachbarn vorgegeben sind: Die Kombinationen dieser drei Ecken müssen 0 und 4, 0 und 6 beziehungsweise 4 und 6 enthalten.Wie zuvor bei der 7 betrachten wir die Kombinationsmöglichkeiten bei der Zahl 6: Sie kann mit 1 (6 + 1 = 7), 5 (6 + 5 = 11) und 7 (6 + 7 = 13) kombiniert werden. Da die 7 schon gesetzt wurde, müssen die 1 und die 5 an die beiden noch freien Nachbarecken der 6.

    Die Zuordnung der beiden Zahlen zu den Ecken ergibt sich daraus, dass sich nur in einer Variante die geforderten Primzahlen an den Kanten ergeben. Nach dem gleichen Ausschlussprinzip können auch die beiden noch fehlenden Zahlen 2 und 3 den Ecken zugeordnet werden.

Der rote Würfel
    Ein großer Würfel ist in viele kleine Würfel aufgeteilt. Insgesamt in 4 · 4 · 4 kleine Würfel, so dass jede Seite aus 4 · 4 = 16 Quadraten besteht. Insgesamt enthält der große Würfel 4 · 4 · 4 = 64 Würfelchen.
    Dieser große Würfel wird nun außen rot angestrichen.
    Frage: Wie viele Würfelchen gibt es, die drei rote Seiten haben, wie viele gibt es, die zwei rote Seiten oder eine rote Seite oder gar keine rote Seite haben?

    Tipp: Bringen Sie die Würfelchen, die eine bestimmte Anzahl von roten Seiten haben, mit ihrer Lage an einer Ecke, Kante oder Fläche des Würfels in Verbindung.

    Lösung: Diejenigen Würfelchen, die in den acht Ecken des Würfels sitzen, haben drei rote Flächen. Davon gibt es also acht Stück.
    Zwischen den Ecken sitzen auf jeder Kante zwei Würfelchen mit jeweils zwei roten Seiten. Also gibt es insgesamt 12 · 2 = 24 solche Würfelchen.
    In der Mitte jeder Seite sitzen vier Würfelchen mit nur einer roten Seite; davon gibt es also 6 · 4, und somit ebenfalls 24 Stück.
    Schließlich befindet sich im Innern des großen Würfels ein Würfel der Größe 2 · 2 · 2, mit komplett ungefärbten