Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

teilnehmen, Prostatakrebs haben. Als Indikator für Prostatakrebs gibt es einen Schnelltest, der unter dem Namen PSA-Test bekannt ist. Die Verlässlichkeit des Tests kann durch die folgenden Angaben charakterisiert werden: 80 % der Männer mit Prostatakrebs werden einen positiven PSA-Test haben, und bei 20 % der Männer ohne Prostatakrebs wird der PSA-Test fälschlicherweise ebenfalls positiv ansprechen. Angenommen, ein Mann in dieser Altersklasse habe bei einer Routineuntersuchung ein positives PSA-Testresultat erhalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich Prostatakrebs hat?
    Versuchen Sie zunächst einmal rein intuitiv, die Antwort per Überschlag abzuschätzen. Es gibt umfangreiche Studien über dieses Thema. Nur etwa 15 % der Ärzte liegen mit ihrer Antwort auf diese oder vergleichbare Fragen größenordnungsgenau richtig, die überwiegende Mehrheit befindet sich – teils eklatant – auf dem Holzweg.[ 11 ] Die meisten Mediziner schätzen die gefragte Wahrscheinlichkeit im Bereich von 75 %, plus oder minus ein paar Prozentpunkte.
    Wir folgen dem Prinzip der sanften Herleitung. Ein 60-jähriger Mann, der sich einer Routineuntersuchung unterzieht, hat, wie erwähnt, eine Wahrscheinlichkeit von nur 1 %, an Prostatakrebs zu leiden. Das Vorliegen des Testergebnisses verändert diese Wahrscheinlichkeit. Man kann die wahrscheinlichkeitsverändernde Wirkung des PSA-Tests auch so darstellen: Vor dem PSA-Test lässt sich die Grundgesamtheit der 60-jährigen Männer in zwei Gruppen einteilen:
    Gruppe
K
: Männer mit Krebs
Gruppe: Männer ohne Krebs
    Nach Durchführung des PSA-Tests ist aufgrund des Testergebnisses eine höher auflösende Klasseneinteilung in 4 Gruppen möglich:
    Gruppe
K
+: Männer mit Krebs und mit positivem Test
Gruppe
K
–: Männer mit Krebs und mit negativem Test
Gruppe+: Männer ohne Krebs und mit positivem Test
Gruppe–: Männer ohne Krebs und mit negativem Test
    Die Vereinigung der beiden Gruppen
K
+ und+ ist die Gruppe der 60-jährigen Männer mit positivem Test und sie sollte mit der obigen Gruppe
K
der Männer mit Krebs verglichen werden. Im Idealfall sollte die Teilmenge aller untersuchten Männer mit positivem Test natürlich gleich der Teilmenge aller untersuchten Männer mit Krebs sein. Der Realfall weicht davon aber ab.
    Zwischen-fraglich
    Wie ist es möglich, dass der genetische Unterschied zwischen Mensch und Schimpanse gewöhnlich als mit 1 % angegeben wird, während der genetische Unterschied zwischen Frau und Mann 1 Chromosom von 46 ist, mit anderen Worten 2,2 %?
    Diese Situation lässt sich quantitativ sehr effektiv mit Hilfe des Bayes’schen Theorems analysieren. Man kann sie als mathematische Formel fürs Dazulernen deuten. Wir betrachten die Ereignisse
K
= «Patient hat Krebs» und= «Patient hat keinen Krebs». Diese Ereignisse besitzen die Wahrscheinlichkeiten
P(K
) = 0,01 und
P
() = 0,99. Außerdem besitzen wir Zuverlässigkeitsinformationen über den PSA-Test. Wir schreiben « + » für das Ereignis eines positiven Tests bei einem Patienten und entsprechend « – » für ein negatives Testergebnis. Nach den gegebenen Daten ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses bei Vorliegen von Krebs gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit
P
(
+/K
) = 0,80. Ferner ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses bei Nichtvorliegen von Krebs
P
(+/) = 0,20. Unser Interesse gilt aber der Frage nach einer anderen Wahrscheinlichkeit: Wenn das Testergebnis positiv war, wie wahrscheinlich ist es dann, tatsächlich Krebs zu haben? Symbolisch ausgedrückt, ist es die bedingte Wahrscheinlichkeit
P
(
K/+
).
    Das Bayes-Theorem gestattet uns die Berechnung von
P
(
K/+
)aus der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit
P
(
+/K
) und der einfachen Wahrscheinlichkeit
P
(
+
) eines positiven Testergebnisses. Doch wie erhalten wir
P
(+)? Man kann diese Wahrscheinlichkeit aufspalten in die Summe aus der Wahrscheinlichkeit für das Verbundereignis «positives Testergebnis nebst Vorliegen von Krebs» und der Wahrscheinlichkeit für das Verbundereignis «positives Testergebnis nebst Nichtvorliegen von Krebs»: In Formelsprache:
    P
(+) =
P
(+
K
) +
P
(+)
    Und daraus ergibt sich mit unserem Wissen über bedingte Wahrscheinlichkeiten:
    P
(+) =
P
(+/
K
) ×
P
(
K
) +
P
() ×
P
()
    Damit liegen alle benötigten Informationen für eine Anwendung des Bayes-Theorems vor. Dem Höhepunkt entgegensteuernd rechnen wir.
    Erstens:

    Also:

    Zweitens:

    Also:

    Ein