Achtung Denkfalle! - die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

günstig ist.
    Nehmen wir dazu einmal als Gedankenexperiment an, statt nur 3 Türen gäbe es 1 Million Türen. Eine davon führt zum Hauptgewinn und die anderen 999.999 verbergen jeweils eine Niete – eine Ziege, eine zerbeulte Zwiebel oder einen Zombie, jedenfalls was Uncooles mit Z. Der Kandidat wählt eine Tür undder Moderator öffnet 999.998 Türen mit Nieten und gibt ihm nun die Möglichkeit, die Tür zu wechseln. Nur zwei Türen sind noch verschlossen: die vom Kandidat gewählte Tür sowie eine weitere vom Moderator nicht geöffnete Tür. Ich gebe mich der Hoffnung hin, wohl jeder Kandidat werde nun sofort ein Angebot zu wechseln annehmen, obwohl auch hier durch das Öffnen der Nietentüren keine Information transportiert wird. Der Moderator kann
immer
999.998 Türen mit Nieten öffnen. Für die anfangs gewählte Tür ändert sich nichts, auch nicht die Erfolgswahrscheinlichkeit von 1 zu 1 Million. Es ist also extrem unwahrscheinlich, mit der erstgewählten Tür erfolgreich zu sein. Mit der überwältigenden Wahrscheinlichkeit von 999.999/1.000.000 also von 0,999999 bzw. von 99,9999 Prozent befindet sich das Auto hinter der anderen noch ungeöffneten Tür. Analog ist es, wenn statt 1 Million nur 3 Türen vorhanden sind, lediglich die Zahlen sind anders: Statt 0,0001 Prozent und 99,9999 Prozent als Erfolgswahrscheinlichkeiten für die gewählte und die noch verschlossene Tür sind es nun 33,3 Prozent und 66,7 Prozent.
    Hilft diese Überlegung weiter?
    Ein anderer, mit noch größerer Sinnfälligkeit ausgestatteter Zugang zum Problem besteht in einer Bilanzierung, wann ich bei den miteinander konkurrierenden Strategien – Wechseln und Beharren – den Hauptgewinn einheimse. In dieser Version klingt vielleicht der stärkste und am meisten einleuchtende Beweis für einen Türwechsel an: Beim Beharren gewinne ich den Hauptgewinn nur
genau
dann, wenn ich mit meiner Wahl die Autotür treffe. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist bei drei Türen natürlich 1/3. Bei der Wechselstrategie gewinne ich den Hauptgewinn aber
immer
dann, wenn ich mit meiner ersten Wahl eine der beiden – und zwar irgendeine – Ziegentür treffe. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 2/3, denn es gibt zwei Ziegentüren. In diesem Fall ist nämlich der Moderator gezwungen, die je andere Ziegentür zu öffnen, und ich erreiche durch meinen Wechsel ebenso zwingend die Autotür. In dieser Sicht scheint mir die Lösung am besten freigelegt und am leichtesten begreiflich.
    Das müsste doch eigentlich überzeugend sein. Und bleiben.[ 15 ] Flächendeckend ist die Überzeugungskraft der richtigen Lösung aber nicht, begegnet man doch immer wieder und oft noch der anderen Meinung.
    Mathematik fürs Eheleben: Das Drei-Männer-Problem
    Ein Kurzmärchen zum Drei-Türen-Problem: Es war einmal eine Mathematikerin, die heiratete einen ihrer drei Verehrer. Kurz danach stößt sie auf eine Studie, nach der nur jeder dritte Mann ein guter Ehemann ist. Durch Zufall heiratet ihre beste Freundin einen der beiden verschmähten Verehrer und erzählt der Mathematikerin später, dass sie Pech gehabt habe und dieser kein guter Ehemann sei. Daraufhin lässt sich die Mathematikerin direktemang scheiden und ehelicht flugs den dritten Freier.

    Abbildung 28: Cartoon von Kitti Hawk.
    Das Drei-Türen-Problem gibt es in verschiedenen Spielarten, einige sind völlig äquivalent, einige invers zueinander, andere beides nicht. Sie sind in Rätsel- und Knobelbüchern auf derganzen Welt im Umlauf. Eine dieser weltweiten Varianten ist das
Problem der drei Häftlinge
, das in einer Mathematik-Kolumne von Martin Gardner erstmals 1959 thematisiert wurde.
    In einem Gefängnis sitzen die drei verurteilten Häftlinge Ali, Baba und Carl ihre Strafe ab. Ein Los wird gezogen, bei dem alle dasselbe Risiko haben, exekutiert zu werden. Die anderen beiden werden begnadigt. Ali bittet den Wärter, der gerade bei ihm ist und der das Ergebnis des Losentscheids bereits kennt, ihm den Namen eines Mithäftlings zu nennen, der begnadigt werden wird. Der Wärter antwortet wahrheitsgemäß: «Carl wird begnadigt!» Wie groß sind nun die Wahrscheinlichkeiten von Ali und Baba, hingerichtet zu werden?

    Abbildung 29: «Sind Sie schon lange hier?» Cartoon von Mike Flanagan.
    Um die Beziehungen zum Drei-Türen-Problem deutlicher herauszuarbeiten, könnte man fragen:
    Wenn Ali sein Schicksal mit dem von Baba tauschen könnte, sollte er es tun?
    Anti-Monty-Hall.
Durch unsere früheren Erkenntnisse