Cryptonomicon

synchron mit den Zähnen des Zahnrades in der Mitte des Hinterrades bewegen, und dieses Zahnrad hat n Zähne, deshalb gilt nach einer vollständigen Umdrehung des Hinterrades, wenn erneut Θ = 0, dass K = n . Nach einer zweiten vollständigen Umdrehung des Hinterrades gilt erneut Θ = 0, nun aber K = 2 n . Beim nächsten Mal gilt K = 3 n usw. Man darf jedoch nicht vergessen, dass die Kette nichts unendlich Lineares, sondern eine Schleife ist, die nur g Positionen hat; bei K = g geht sie auf K = 0 zurück und wiederholt den Zyklus. Bei der Berechnung des Wertes von K kommt man also nicht ohne modulare Arithmetik aus – d. h., wenn die Kette hundert Glieder hat ( g = 100) und die Gesamtzahl der Glieder, die sich vorbeibewegt haben, 135 beträgt, dann ist der Wert von K nicht 135, sondern 35. Wann immer man eine Zahl erhält, die größer als oder gleich g ist, subtrahiert man so lange g , bis man eine Zahl erhält, die kleiner als g ist. Diese Operation wird von Mathematikern als mod g dargestellt. Die aufeinander folgenden Werte von K betragen somit für jedes Mal, wo sich das Hinterrad wieder auf Θ = 0 dreht,
jedenfalls mehr oder weniger, je nachdem wie nahe an unendlich lang Turing sein Fahrrad zu fahren gedenkt. Nach einer Weile kommt es Waterhouse unendlich lang vor.
    Turings Kette wird abfallen, wenn sein Fahrrad den Zustand ( Θ = 0, K = 0) erreicht, und im Lichte des oben Stehenden wird das dann geschehen, wenn i (das nichts als ein Zähler ist, der angibt, wie oft das Hinterrad sich gedreht hat) irgendeinen hypothetischen Wert erreicht, bei dem in mod g = 0 gilt, oder, schlicht ausgedrückt, es wird dann geschehen, wenn es irgendein Vielfaches von n (wie zum Beispiel 2 n , 3 n , 395 n oder 109 948 368 443 n ) gibt, das zufällig auch ein genaues Vielfaches von g ist. Übrigens kann es von diesen so genannten gemeinsamen Vielfachen mehrere geben, doch praktisch gesehen kommt es nur auf das Erste – das kleinste gemeinsame Vielfache oder KGV – an, denn das wird zuerst erreicht werden und dazu führen, dass die Kette abfällt.
    Wenn das Zahnrad beispielsweise zwanzig Zähne ( n = 20) und die Kette hundert Glieder ( g = 100) hat, dann ergibt sich nach einer Umdrehung des Rades K = 20, nach zwei Umdrehungen K = 40, dann 60, dann 80, dann 100. Aber da wir modulo 100 rechnen, muss dieser Wert auf 0 geändert werden. Somit haben wir nach fünf Umdrehungen des Hinterrades den Zustand ( Θ = 0, K = 0) erreicht und Turings Kette fällt ab. Fünf Umdrehungen des Hinterrades bringen ihn aber nur zehn Meter weit, sodass das Fahrrad bei diesen Werten von g und n so gut wie unbrauchbar ist. Das gilt allerdings nur, wenn Turing so dumm ist, im Kettenabfall-Zustand loszufahren. Wenn zu dem Zeitpunkt, zu dem er in die Pedale zu treten beginnt, stattdessen der Zustand ( Θ = 0, K = 1) vorliegt, dann ergeben sich als Folgewerte K = 21, 41, 61, 81, 1, 21… und so weiter bis in alle Ewigkeit – die Kette wird niemals abfallen. Aber das ist ein degenerierter Fall, wobei »degeneriert« für einen Mathematiker »quälend langweilig« heißt. Sofern Turing sein Fahrrad, wenn er es vor einem Gebäude abstellte, in den richtigen Zustand brächte, wäre theoretisch niemand in der Lage, es zu stehlen – die Kette würde abfallen, nachdem der Dieb nicht mehr als zehn Meter zurückgelegt hat.
    Wenn Turings Kette jedoch hunderteins Glieder ( g = 101) hat, dann haben wir nach fünf Umdrehungen K = 100, nach sechs K = 19, dann

    Das Fahrrad kehrt also erst bei der hundertundersten Umdrehung in den Zustand ( Θ = 0, K = 0) zurück, in dem die Kette abfällt. Während dieser hundertundeins Umdrehungen hat Turings Fahrrad eine Entfernung von 200 Metern zurückgelegt, was gar nicht so schlecht ist. Das Fahrrad ist also brauchbar. Anders als in dem degenerierten Fall ist es jedoch nicht möglich, dieses Fahrrad in einen Zustand zu bringen, in dem die Kette überhaupt nie abfällt. Das lässt sich beweisen, indem man die obige Liste von Werten für K durchgeht: Dabei wird man feststellen, dass die Liste jeden möglichen Wert von K – jede Zahl von 0 bis 100 – enthält. Das bedeutet, dass K , ganz gleich welchen Wert es hat, wenn Turing in die Pedale zu treten beginnt, früher oder später den fatalen Wert K = 0 erreichen und die Kette abfallen wird. Turing kann sein Fahrrad also überall stehen lassen und darauf vertrauen, dass es im Falle eines Diebstahls nicht mehr als zweihundert Meter zurücklegen wird, ehe die Kette abfällt.
    Der