Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

Permutation, auch bekannt als das Problem der vertauschten Hüte. Man stelle sich eine Garderobe in einem Restaurant vor. Der Garderobier nimmt die Hüte der Gäste entgegen und legt sie in Hutschachteln. Leider merkt er sich nicht, welcher Hut welchem Gast gehört. Als die Restaurantgäste später zurückkehren, gibt er jedem Gast irgendeine zufällige Schachtel und schickt ihn weg, bevor er die Schachtel öffnen kann. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Gast die Schachtel mit dem richtigen Hut bekommt? Die Antwort hängt von der Anzahl der Gäste ( n ) ab. Die Wahrscheinlichkeit für null Treffer, als P( n ) bezeichnet, erhält man anhand der folgenden Formel: 35

    Bei genau einem Gast beträgt damit die Wahrscheinlichkeit von null Treffern 0, weil er unvermeidbar den richtigen Hut bekommt:

    Bei zwei Gästen beträgt die Wahrscheinlichkeit von null Treffern 0,5:

    Bei drei Gästen beträgt die Wahrscheinlichkeit von null Treffern 0,333:

    Bei vier Gästen beträgt die Wahrscheinlichkeit rund 0,375 und bei zehn Gästen ungefähr 0,369. Wenn sich die Anzahl der Gäste gegen unendlich bewegt, nähert sich die Wahrscheinlichkeit 0,367879… an, was 1/2,718… entspricht oder auch 1/ e .
    Man kann dies auch ganz einfach mithilfe von zwei Kartenspielen überprüfen, die man getrennt voneinander gründlich mischt. Ein Kartenspiel steht dabei für die zufällige Verteilung der Hüte auf die Schachteln, das andere Kartenspiel steht für die zufällige Ausgabe der Hüte an die Gäste. Dazu legt man die beiden Kartenstapel nebeneinander und dreht die jeweils oberste Karte jedes Stapels um. Ein Treffer wird gezählt, wenn beide Karten in Farbe und Wert übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit für null Treffer nach einem kompletten Durchgang wird bei 1/ e liegen, was etwa 0,37 oder 37 Prozent entspricht. Wenn man diesen ganzen Vorgang 100-mal wiederholt, wird man wohl kein Sozialleben mehr, aber 37 doppelte Kartenstapel mit null Treffern haben. Das Problem der vertauschten Hüte mag trivial erscheinen, aber es ist eine der wesentlichen Fragen in einer Teildisziplin der Mathematik namens Kombinatorik.
    Die Zahl e taucht ebenfalls im Zusammenhang mit der sogenannten Kettenlinie auf, welche die Form einer Kette beschreibt, die an zwei Punkten aufgehängt ist. Die zugehörige Gleichung enthält e gleich zwei Mal:

    Die Querfäden in einem Spinnennetz bilden zwischen den Speichen jeweils Kettenlinien. Daher schrieb der französische Entomologe Jean-Henri Fabre in La Vie des Araignées (Das Leben der Spinnen):»Auch hier taucht die magische Zahl e wieder auf, in den Spinnfäden. Man muss dazu nur an einem nebligen Morgen das feine Geflecht betrachten, das während der Nacht entstand. Die klebrigen Fäden sind bedeckt mit winzigen Tröpfchen und biegen sich unter ihrer Last. So wurden sie zu zahllosen Kettenlinien: unzählige Perlenschnüre mit klaren Diamanten, elegante Ketten, exquisit arrangiert in graziösen Schwüngen. Wenn die Sonne den Nebel durchdringt, steckt sie das Gebilde in Brand und verwandelt es in ein Gewebe aus leuchtenden Diamanten. Hier erscheint die Zahl e in all ihrer Pracht.«
    Die Zahl e taucht in ganz unterschiedlichen Teildisziplinen der Mathematik auf. Man muss dazu nur den Zufallszahlengenerator am Taschenrechner betätigen, um sich zufällige Zahlen zwischen 0 und 1 ausgeben zu lassen. Diese Zahlen addiere man dann, bis die Summe größer als 1 ist. Manchmal braucht man dazu zwei Zufallszahlen, meistens drei und manchmal vier oder mehr Zahlen. Im Durchschnitt braucht man jedoch 2,71828… Zahlen, bis man eine Summe größer als 1 erhält, also e Zahlen.
    Es gibt zahlreiche weitere Beispiele, die belegen, dass e eine fundamentale Bedeutung in vielen Bereichen der Mathematik hat. Aus diesem Grund ist sie der Liebling vieler Zahlenliebhaber.
    Donald Knuth, emeritierter Professor der Stanford University und ein Halbgott der Informatik, ist ein Verehrer von e. Er veröffentlicht neue Versionen von Metafont, seiner Software zur Erzeugung von Schriften, mit Versionsnummern, die sich e annähern. Die erste Version des Programms war Metafont 2, danach kam Metafont 2.7, dann Metafont 2.71 und so weiter bis zur aktuellen Version Metafont 2.718281. Jede neue Versionsnummer liegt näher am exakten Wert von e. Doch Knuths eigenwillige Arbeitseinstellung drückte sich noch auf viele andere Arten aus. Ein weiteres Beispiel findet sich im Index seiner wegweisenden Arbeit The Art of Computer Programming, Band 1.